Книга Алгебрични многообразия
Б. Ошделнме реулшашг
В допълнение към това как беше поквевко пв пркмерех, във всички резултати в такава формулировка може да е неправилна (виж Ценив [1,2,31).
След това той зае малко по-предпазлива позиция, желаейки поне да спести вече получените последствия (например теорията за нередностите; виж раздел X1, 3). По този начин, okeevl в теоремата, dokeevnpei Puvkkvre [41], с помощта на понятието за pomable функции, въведено от Nm, и подобренията, направени от Lefschetz [c] в Severn [171. Съгласен съм с тази теорема, че върху повърхност P с редовност 4 съществува е-измерно алгебрично семейство, чиито криви са липоично нееквивалентни една на друга (вижте n' X1, 2; такива семейства са получени по същия начин от Поанкаре).
Използвайки теоремата на Puepkere и теоремата Pnmvne-Rohv, Severn доказа съществуванията под формата на пълни непрекъснати семейства с пълна характеристична серия. Това свойство се притежава, честно казано, от всяко неспециално пълно семейство по смисъла на n* CP. 4, съответстваща на прилагането на ервметично ефективните криви по смисъла на Севери (виж n*ChP, 4, и Zvriskny [c], стр. 88).
Доказателството на Kodeire, което е елиптично в текста (за случаи на повърхност, вижте такива Andreotti [1], p. 17) е подобрение на доказателството на Puepkere. Opogodntsk dlk всяко rvemervostn и заедно с решението на нашия въпрос dokvemve е същият elgebrencian еквивалентен postk с цяло число. хомоложност, която за случая на повърхности все още е документирана от Lefschetz (виж Lefschetz [e], стр. 80-82; Zlrnsky [c], стр. 143). Търсенето на чисто алгебрично доказателство за тези резултати е от съществено значение в една много проста алгебрична геометрия.
6. Индивидуални резултати
а) Тъй като групата от делители, алгебрично еквивалентна на нула, съвпада с групата от делители, цялото числохомоложна на нула, групата от делители, рационално хомоложна на нула, съвпада с подгрупата C,
C делители P, имащи краен ред по отношение на алгебричната еквивалентност, тоест, удовлетворяващи отношението AP=:O, където A е някакво цяло число.
Следователно групата С,!Сю, която се нарича торсионна група или група на Seeeri на многообразието Y [въведена е от Severi [12,14]; виж също Zariskni [a], стр. 96), съвпада с групата Cn/Cn, разгледана в раздел c) n' X, 6, т.е., по силата на предложение 11, n' X, 6, с топологичната торсионна група Tvn e(Y).
Интересни примери за многообразия с усукване са конструирани от Рот [вж. Рот [10]); за случай на повърхности с
Teb Kd
формулираната теорема е доказана от Lefschetz ([a], стр. 80-82; виж също Zariski [a], стр. 143).
b) Казва се, че делител на многообразие e' е аритметично еквивалентен на нула, ако неговият индекс на пресичане с всеки алгебричен едномерен цикъл е равен на нула (виж Севери [22], стр. 247). '
Може да се докаже, че групата Cn(r') съвпада с набора от делители, аритметично еквивалентни на нула, така че фактор групата C!C е аритметична група на еквивалентност на многообразието r'.
За доказателството трябва да преминем от делителя P
и до рационално хомоложно разделение на формата
b=! където (P!) е някаква основа на групата C(r')1C,(r), и имайте предвид, че ако делителят P е аритметично еквивалентен на нула,
a, P, също е аритметично еквивалентно на
ab(Pb, yb) = 0, където yn е пресечната точка
делител Pn с общо двумерно равнинно сечение 7. на многообразието r'. Тъй като Pe1) (Pc!y) ! където 0, следва, че ai = 0 и следователно делителят Р е рационално хомоложен на нула (виж Игуза [3], стр. 20).
По силата на добре известни топологични резултати току-що доказаното твърдение е еквивалентно на следното: ако индексът на пресичане на дивизор P с алгебрични криви върху многообразие r' е равен на нула, тогава неговият индекс на пресичане с трансцендентални двумерни цикли също е равен на нула (виж Севери [22], стр. 248).
За случая на повърхности Севърн доказва следната теорема: ако две криви A и B на повърхността r изрязват еднакъв брой точки върху едномерен цилиндър C, чийто индекс на самопресичане е равен на нула, тогава кривите A и B са алгебрично псевдоеквивалентни, т.е. XA = DB за някои 1b.
От този чисто алгебричен критерий, следвайки Албанезе и Севери, може също да се получи съвпадението на алгебричната еквивалентност с рационалната хомология (вж. Севери [34]; относно първото съображение