Комбинаторни алгебри
4.1. Приложна структура
Определение. M = (X; ) се нарича апликативна структура, ако е двоична операция върху множеството X.
Говорейки малко по-малко формално, ще наречем елементите от домейна на апликативната структура X елементите на апликативната структура M и ще напишем 2 M за 2 X.
Определение. Ще кажем, че апликативната структура M = (X; ) е тривиална, ако множеството X е едноелементно (в този случай операцията може да бъде еднозначно дефинирана).
Тривиална структура може да се получи, когато се правят противоречиви предположения за X (такива случаи ще бъдат проучени по-подробно по-долу). Най-общо казано, интерес представляват нетривиалните приложни структури.
Определение. Една апликативна структура M = (X; ) е екстензионална, ако за всяко a, b от X
(8x 2 X)(a x = b x) ) a = b:
Пример. Нека M = (N; +), където N е множеството от естествени числа. Това е апликативна структура и е екстензивна, защото за всяко a, b от N
(a + x = b + x) ) a = b:
Определение. Нека M = (X; ) е апликативна структура. Множеството от членове над M се дефинира, както следва:
(i) 1. x е променлива ` x е член над M. 2. a 2 X ` c a е член над M.
(ii) А; B са членове над M ` (AB) са членове над M. (iii) Няма други членове.
По-нататък множеството от членове върху M ще бъде означавано с T (M). Определение. Оценка в M е картографиране от променливи към M. Определение. Нека M = (X; ) е апликативна структура. Интерпретация
Дефиницията на термина A 2 T (M) в M в оценката се определя, както следва: (i) 1. [[x]] M = (x).