Лекции по теория на числата

Обикновено произволно уравнение (но, като правило, все още с цели коефициенти) получава заглавието "диофантово", ако искат да подчертаят, че трябва да се решава в цели числа, т.е. намери всички негови решения, които са цели числа. Името на Диофант, изключителният математик от Александрия, не се появява тук случайно. Диофант се интересува от решаването на уравнения в цели числа още през трети век сл. н. е. и трябва да се каже, че го прави много успешно.

Едно отклонение за Диофант и неговата историческа следа.

Третият и последен период на античното общество е периодът на римското господство. Рим завладява Сиракуза през 212 г., Картаген през 146 г., Гърция през 146 г., Месопотамия през 46 г., Египет през 30 г. пр.н.е. Огромни територии се оказват колонии, но римляните не засягат тяхната култура и икономическа структура, докато редовно плащат данъци и такси. Мирът, установен от римляните в продължение на векове, за разлика от всички следващи велики светове и райхове, донесе на цялата завладяна територия най-дългия период на съществуване без война, търговия и културен обмен.

Основното произведение на Диофант (ок. 250 г.) - "Аритметика". Само шест книги от оригинала са оцелели, като общият брой е въпрос на предположения. Не знаем кой е Диофант - възможно е той да е елинизиран вавилонец. Книгата му е един от най-очарователните трактати, оцелели от гръко-римската античност. В него за първи път се открива систематично използване на алгебрични символи, има специални знаци за обозначаване на неизвестното, минус, реципрочно, повдигане на степен. Папирус № 620 от Мичиганския университет, закупен през 1921 г., принадлежи към епохата на Диофант и ясно потвърждава това. Сред уравненията, решени от Диофант, намираме такива като x 2 - 26 y 2 = 1 и x 2 - 30 y 2 = 1, известни сегани като частни случаи на "уравнението на Пел", а Диофант се интересува от техните решения именно в цели числа.

Книгата на Диофант неочаквано оказа и огромно косвено влияние върху развитието на математическата наука през последните три века. Факт е, че адвокат от Тулуза, Пиер Ферма (1601 - 1665), докато изучаваше Аритметиката на Диофант, направи известна бележка в полетата на тази книга: „Намерих наистина невероятно доказателство, че уравнението x n + y n = z n за n> 2 няма решения в цели числа, но полетата на тази книга са твърде малки, за да се поберат тук.“ Това едно от най-безполезните математически твърдения е наречено "Последната теорема на Ферма" и по някаква причина предизвика истинско вълнение сред математици и аматьори (особено след наградата през 1908 г. за неговото доказателство с награда от 100 000 германски марки). Опитите да се довърши тази безполезна теорема породиха цели раздели от съвременната алгебра, алгебрична теория на числата, теория на функциите на комплексна променлива и алгебрична геометрия, чиято практическа полезност вече не е под съмнение. Самата теорема изглежда е успешно доказана през 1995 г.; Пиер Ферма, разбира се, се развълнува в полетата на "Аритметика", защото физически не можеше да излезе с такова доказателство, изискващо колосален набор от математически познания. Досега никой от жителите на нашата планета не е успял да намери елементарно доказателство на Последната теорема на Ферма, въпреки че най-добрите умове от последните три века са се борили да го намерят. Въпреки това досега хиляди психично болни аматьори „ферматисти“ в жажда за слава и пари бомбардират академични институции и университети с писмата си и почти всяка година един от служителите на катедрата по алгебра и дискретна математика на Уралския държавен университет, където работя, е принуден да поддържа дипломатически отношения с такъв психопаткореспонденция по предварително подготвен формуляр:

„Уважаеми. Във вашето доказателство на страница №, ред № съдържа грешка.

Нека се изисква да се реши линейно диофантиново уравнение:

където a, b, c O Z; a и b не са нули.

Нека се опитаме да разсъждаваме, като разгледаме това уравнение.

Нека (a, b) = d. Тогава a = a 1 d ; b = b 1 d и уравнението изглежда така:

a 1 d x + b 1 d y = c , т.е. d (a 1 x + b 1 y) = c.

Сега на таралежа му е ясно, че такова уравнение има решение (двойка цели числа x и y ) само когато d c . Тъй като наистина искам да реша това уравнение допълнително, тогава нека d c . Нека разделим двете части на уравнението на d, спокойно и навсякъде по-долу ще приемем, че ( a , b ) = 1. Значи е възможно.

Нека разгледаме няколко случая.

Случай 1. Нека c = 0, уравнението има формата ax + by = 0 - "хомогенно линейно диофантиново уравнение". След малко усилия откриваме това

х=-б аy .

Тъй като x трябва да е цяло число, тогава y = at , където t е произволно цяло число (параметър). Следователно x = - bt и решенията на хомогенното диофантово уравнение ax + by = 0 са всички двойки от формата , където t = 0; ±1; ±2;. Множеството от всички такива двойки се нарича общо решение на линейно хомогенно диофантиново уравнение, докато всяка отделна двойка от това множество се нарича частно решение.

Уважаеми читатели, не е ли вярно, че всички имена са вече до болка познати? „Хомогенно уравнение“, „общо решение“ – всичко това вече сме го чували както в курса по линейна алгебра, така и в лекциите по диференциални уравнения. Когато анализираме следния случай, тази аналогия буквално изпъква на преден план, което, разбира се, не е случайно, но изследването на единството на голямото състояние на линейност в континенталната част на математиката отива отвъд товаскромна книга.

Случай 2. Нека сега c е 0. Този случай се затваря от следната теорема.

Теорема. Нека ( a , b ) = 1, < x 0 , y 0>- конкретно решение на диофантовото уравнение ax + by = c . Тогава общото му решение се дава по формулите:

m n ox = x 0 - bt y = y 0 + at .

Така в теорията на линейните диофантови уравнения общото решение на нехомогенно уравнение е сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение и някакво (всяко) конкретно решение на нехомогенното уравнение. Ето го - проявление на единството на линейния свят! (Веднъж, преди изпит по диференциални уравнения, имах кошмар, че всички пространства за линейни решения се сговориха помежду си и поискаха да добавя конкретно решение към тях, тъй като те не искаха да съдържат нулев вектор, а искаха да бъдат линейни многообразия. Отказах и на следващата сутрин, на изпита, получих хомогенна система!)

Доказателство. Фактът, че десните части на равенствата, посочени във формулировката на теоремата, наистина са решения, се проверява чрез директното им заместване в оригиналното уравнение. Нека покажем, че всяко решение на уравнението ax + by = c има точно формата, посочена във формулировката на теоремата. Нека < x * , y * > - някакво решение на уравнението ax + by = c . Тогава ax * + от * = c, но ax 0 + от 0 = c. Следвайки дългогодишната традиция за доказване на подобни теореми, изваждаме второто равенство от първото и получаваме:

a (x *- x 0) + b (y *- y 0) = 0

е хомогенно уравнение. Освен това, разглеждайки случай 1, чието разглеждане приключи няколко реда по-горе, ние незабавно записваме общото решение: x *- x 0 = - bt , y *- y 0 = at , от което, използвайки уменията на третия клас на гимназията, веднага получаваме:

m n ox * = x 0 - bt, y * = y 0 + at.

„Всичко това, разбира се, е интересно“, ще каже читателят, „Но как можем да търсим това много конкретно решение < x 0 , y 0 >, в името на което започна цялата врява около този параграф и от което, както сега се оказва, наистина имаме нужда? Отговорът е глупаво прост. Съгласихме се, че ( a , b ) = 1. Това означава, че има u и v от Z, така че au + bv = 1 (ако сте забравили това, върнете се към стъпка 4) и можем лесно да намерим тези u и v с помощта на Евклидовия алгоритъм. Сега умножаваме равенството au + bv = 1 по c и получаваме: a ( uc ) + b ( vc ) = c , т.е. x 0 = uc, y 0 = vc. Това е всичко!

Пример. Вие сте хроноп, измислен от Хулио Кортасар в книгата „Из живота на хронопите и фамасите“. Трябва да платите в магазина за синьото огнено черво, защото червеното е във фермата от дълго време. Имате монети в джоба си в купюри само от 7 и 12 копейки, а трябва да платите 43 копейки. Как да го направим? Решаваме уравнението:

Включете алгоритъма на Евклид:

12 = 7 1 + 5 7 = 5 1 + 2 5 = 2 2 + 1 2 = 1 2

Следователно най-големият общ делител на числата 7 и 12 е 1, а неговият линеен израз е:

1 = 5 - 2 2 = 5 - (7 - 5) 2 = (12 - 7) - (7 - (12 - 7) 2) = 12 3 + 7 (- 5),

тези. u = - 5, v = 3. Специфично решение:

x 0 = uc = (- 5) 43 = - 215 y 0 = vc = 3 43 = 129.

Така че трябва да вземете 215 монети от седем копейки от касата и да му дадете 129 монети от дванадесет копейки. Процедурата обаче може да бъде опростена, ако запишем общото решение на нехомогенното диофантиново уравнение:

x = -215 - 12t y = 129 + 7t

и лесно се вижда, че при t = - 18 се получават доста разумни x = 1, y = 3, така че не е необходимо да биете касиера.

пъзели

1 . Решете диофантовите уравнения:

б) 6 x - 27 y = 21;

в) 11x + 99y = 41.

2. За всяко цяло число z решете уравнението 2 x + 3 y = 5 z в цели числа.

3 . Решете уравнението 3 sin 7 x + cos 20 x = 4 и след това предложете да го решите на познат ученик. Кой е по-бърз?

4 . По колко различни начина можете да платите за вкусната дъвка от деветдесет и седем копейки само с монети и копейки?