Лихвен еквивалент
УРАВНЕНИЯ ЗА ЕКВИВАЛЕНТНОСТ
Еквивалентни тарифи
Принцип на еквивалентност
Разгледахме всички възможни начини за изчисляване на лихвата. Въпреки това, при какъвто и процент да се изчислява лихвата, трябва да се спазвапринципът на еквивалентност,, според който финансовият резултат трябва да бъдееднакъв, когато се начислява при какъвто и да е процент. Такива проценти се наричат еквивалентни и се намират от равенството на мултипликаторите за нарастване или отстъпка, взети по двойки. Равен финансов резултат означава, че за годината за всяка рубла капитал, наличен в началото на годината, се начислява еднаква лихва. Тъй като резултатът от прилагането на еквивалентни лихвени проценти е един и същ, даден лихвен процент винаги може да бъде заменен с еквивалентен.
Нека сравним, например, множителите на натрупващата се сложна лихва, когато се начислява веднъж иmведнъж годишно: . От равенството намираме .
Ставкатаi се наричаефективна годишна ставка. Тя дава същия финансов резултат като номиналната ставкаjсm- еднократно начисляване за една година. Това е най-често използваният залог сред всички еквивалентни залози.
Пример 1. Изчислете натрупаната сума на лихвата за годината, ако първоначалният капиталP= 1000 рубли, годишната ставкаj= 10%, с годишно, полугодишно, тримесечно, месечно, ежедневно и непрекъснато начисляване на лихва. За всеки случай изчислете ефективните ставки и направете начисления върху тях за една и съща сума на първоначалния капитал.
Решение:
| Начален капитал P | Честота на изчисляване на лихвата на годинаm | Начислена сума |
| годишно (m = 1) | ||
| полугодишно (m = 2) | 1102.50 | |
| тримесечно (m = 4) | 1103.81 | |
| месечно (m =12) | 1104.71 | |
| дневно (m =365) | 1105.16 | |
| непрекъснато (m = ¥) | 1105.17= 1000×e |
Изчислете ефективните ставки: и направете натрупване от 1000 рубли. при ефективния процент, , n = 1 година.
| Брой начисления, m | ¥ | |||||
| Ефективна ставка,i | 0,1 | 0,1025 | 0,10381 | 0,10471 | 0,10516 | 0,10517 |
| Начислена сума, S | 1102.50 | 1103.81 | 1047.1 | 1051.6 | 1051.7 |
Сравнете натрупаните суми в таблиците. Теса едни и същи, както при ефективния лихвен процент, така и при номиналния лихвен процент за определен брой лихвени начисления годишно. Този факт следва от концепцията за еквивалентни ставки: те трябва да дават еднакъв финансов резултат.
Еквивалентност на лихвените проценти
1. Прост лихвен процентiи прост сконтов процентd:
;
2. Прости и сложни залози:
а) Прост лихвен процентiи сложен процент на дисконтиранеfс m-времево начисляване на лихва на година:
б) Обикновен лихвен процентiи сложен лихвен процентjс m-временно начисляване на лихва на година:
3. Сложен лихвен процентjи сложен дисконтов процентf:
4. Комплексни и непрекъснати залози:
a) Сложен залогiи непрекъснат залогd:
б) Сложен лихвен процентjсm-еднократно начисляване на лихвата и непрекъснат процентd:
в) Сложен дисконтов процентfсm-еднократно изчисление на лихвата и непрекъснат процентd:
От всяко съотношение за всяка известна ставка можете да намеритееквивалентна нейната ставка.
Пример 2. Намерете номиналния лихвен процент, ако полугодишният ефективен процент е 6%.
Решение: От уравнението на еквивалентността на номиналнитеjи ефективнитеiскорости намирамеj:
,
Забележка: номиналната годишна лихва винаги е малко по-ниска от ефективната.
Пример 3. Намерете еквивалентния дисконтов процентdза комбиниран годишен процентj=0,12 с тримесечна лихва (m=4). Изчислете лихвите и при двата процента на 1000 рубли. Сравнете резултатите (Срокn=1 година).
Решение: Еквивалентно уравнение:
Начислената сума при сложен годишен лихвен процентj=12% с тримесечно начисляване на лихва:
търкайте,
Начислена сума при еквивалентен сложен годишен дисконтов процентf=11,65% с тримесечно начисляване на лихва:
търкайте.
Естествено, тъй като еквивалентните ставки дават същото нарастване.
Пример 4. Годишната сложна лихва е 15%. Каква е еквивалентната сила на растеж?
Решение : Нека използваме уравнението за еквивалентност на комплексни и непрекъснати скорости: Намерете непрекъсната скорост от това уравнение.
Непрекъснатата ставка d=13,976% и сложната ставкаi=15% дават същия финансов резултат. Например, с начален капиталP=2000 рубли, срокn=4 години, имаме
Еквивалентни пасиви