4.2. квантификатори
Съществената разлика между предикатната логика и пропозиционалната логика също е, че първата въвежда количествена характеристика на предложенията или, както се казва в логиката,количествено ги определя. Вече в традиционната логика преценките са класифицирани не само по качество, но и по количество, т.е. общите преценки се различават от частните и индивидуалните. Но нямаше теория за връзката между тях. Съвременната логика разглежда количествените характеристики на предложенията в специална теорияквантификация,която е неразделна част от смятането на предикатите.
За квантификацията (количественото определяне) на твърденията тази теория въвежда два основни квантора:общия квантор,който ще обозначим със символа(x),иекзистенциалния квантор,обозначен със символа(Ex).Те се поставят непосредствено преди твърденията или формулите, към които се отнасят. В случаите, когато кванторите имат по-широк обхват, пред съответната формула се поставят скоби.
Общият кванторпоказва, че предикатът, означен с определен символ, принадлежи към всички обекти от даден клас или вселена от разсъждения.
По този начин твърдението: „Всички материални тела имат маса“ може да се преведе на символичен език, както следва:
къдетоx –означава материално тяло:
(х) –общият квантор.
По същия начин твърдението за съществуването на екстрасензорни явления може да бъде изразено чрез екзистенциалния квантор:
къдетоxобозначава явленията:
E - свойството на екстрасензорно възприятие, присъщо на такива явления;
(Ex) –екзистенциалният квантор.
С помощта на общия квантификатор могат да се изразят емпирични и теоретични закони, обобщения за връзката междуявления, универсални хипотези и други общи положения. Например, законът за топлинното разширение на телата може да бъде символично представен като формула:
където(х) –общият квантор;
Т(х) –телесна температура;
Р(х) –неговото продължение;
Екзистенциалният квантор се отнася само до определено подмножество от обекти от дадена вселена на разсъждение. Следователно, например, той се използва за символно записване на статистически закони, които заявяват, че дадено свойство или връзка се прилагат само към характеристиките на определена част от обектите, които се изследват.
Въвеждането на квантори позволява преди всичко да се превърнат предикатите в определени твърдения. Самите предикати не са нито верни, нито неверни. Те стават такива, ако вместо променливи се заменят конкретни твърдения или ако се свържат с квантори, те се определят количествено. На тази основа се въвежда разделянето на променливите на обвързани и свободни.
Обвързаниса променливи, които попадат под действието на знаци на квантори на общост или съществуване. Например, формулите(x)A (x)и(x) (P (x) →Q(x))съдържат променливатаx.В първата формула общият квантор е непосредствено преди предикатаA(x),, а във втория кванторът разширява действието си към променливите, включени в предходната и следващите членове на импликацията. По същия начин, екзистенциалният квантор може да се отнася както за единичен предикат, така и за тяхната комбинация, образувана с помощта на логическите операции на отрицание, връзка, дизюнкция и т.н.
Свободнатапроменлива не е предмет на знаци за квантори, така че характеризира предикат или пропозиционална функция, а не предложение.
Като се използвакомбинации от квантори могат да бъдат изразени в символния език на логиката, доста сложни изречения на естествен език. В същото време твърдения, които се занимават със съществуването на обекти, които отговарят на определено условие, се въвеждат с помощта на екзистенциалния квантор. Например твърдението за съществуването на радиоактивни елементи е написано по формулата:
къдетоRозначава свойството радиоактивност.
Твърдението, че има риск пушачът да се разболее от рак, може да се изрази като: (Ex)(K(x) →P(x)),където K обозначава свойството „да си пушач“, аP -„разболееш се от рак“. С известни уговорки, същото би могло да се изрази" чрез общия квантор:
(x) (K(x) → P(x)).Но твърдението, че всеки, който пуши, може да се разболее от рак, би било неправилно и затова е най-добре да се напише с помощта на квантификатора на съществуване, а не на квантора за общост.
Общият квантификатор се използва за изявления, които заявяват, че определен предикатAе удовлетворен от всеки обект в неговия диапазон от стойности. В науката, както вече беше споменато, общият квантификатор се използва за изразяване на твърдения от универсален характер, които са словесно представени с помощта на фрази като "за всички", "всеки", "всеки", "всеки" и т.н. Чрез отричане на общия квантификатор могат да се изразят общи отрицателни твърдения, които в естествения език се въвеждат с думите "никой", "никой", "никой" и т.н.
Разбира се, при превода на изявленията на естествен език на символен език се срещат определени трудности, но се постига необходимата точност и недвусмисленост на изразяването на мисълта. Човек обаче не може да мисли, че формалният език е по-богат от естествения език, в който се изразява не само значението, но и неговите различни нюанси. Реч следователноможе да се стигне само до по-точно представяне на естествените езикови изрази като универсално средство за изразяване на мисли и обмена им в процеса на комуникация.