§ 5. Конструктивна логика
Конструктивната логика, различна от класическата логика, дължи раждането си на конструктивната математика. Конструктивната математика може да бъде описана накратко като наука за конструктивните процеси и нашата способност да ги извършваме. В резултат на конструктивния процес възниква конструктивен обект, т.е. такъв обект, който е даден от ефективен (точен и напълно разбираем) метод (алгоритъм) на конструиране 37 .
Конструктивното направление (в математиката и логиката) ограничава изследването до конструктивни обекти и го провежда в рамките на абстракцията на потенциалната осъществимост (осъществимост), т.е. игнорира практическото ограничение на нашите възможности за конструиране в пространството, времето и материала.
Има допирни точки между идеите на конструктивната логика на съветските изследователи и някои идеи на интуиционистката логика (например в разбирането за дизюнкция, в отхвърлянето на закона за изключената среда).
Въпреки това, конструктивната и интуиционистката логика имат значителни разлики.
1.Различни обекти на изследване.Основата на конструктивната логика, която е логиката на конструктивната математика, е абстракцията на потенциалната осъществимост и само конструктивни обекти (думи в определена азбука) са разрешени като обекти на изследване.
Интуиционистичната логика, която е логиката на интуиционистичната математика, се основава на идеята за „свободно ставаща последователност“ (т.е. последователност, която не е изградена според алгоритъм), която интуиционистите смятат за интуитивно ясна.
2.Обосновката на интуиционистичната математика и логикае дадена с помощта на идеалистично интерпретирана интуиция, а обосновката на конструктивната математика и логика е дадена въз основа на научниматематическата концепция за алгоритъм (например нормалният алгоритъм на А. А. Марков) или еквивалентната концепция за рекурсивна функция.
3.Различни методологични основи.Методологическата основа на конструктивното направление в математиката местните изследователи считат разпоредбите на материализма, от гледна точка на които критерият за истинността на знанието (включително научното) е практиката. Тази разпоредба остава валидна за такива науки като логика и математика, въпреки че тук практиката влиза в процеса на познание само косвено, в крайна сметка.
Интуиционистите, оставайки в рамките на субективно-идеалистичната философия, считат източника на формирането на математически концепции и методи не човешката практика, а първоначалната „интуиция“, а критерият за истина в математиката е „интуитивната яснота“.
4.Различни интерпретации**.А. Н. Колмогоров разглежда интуиционистката логика като смятане на проблемите. А. А. Марков дефинира логическите връзки на конструктивната логика, приложени към потенциално реализирани конструктивни процеси (действия).
Интуиционистичната логика на Л. Брауер и А. Хейтинг се интерпретира от тях като смятане на изречения (изявления), а областта на изявленията е ограничена до математически изречения.
5.Разликата между редица логически средстваМестните представители на тясно конструктивната логика признават като принцип: ако има алгоритмичен процес и е възможно да се опровергае, че той продължава безкрайно, тогава, следователно, процесът ще приключи. Някои от представителите на конструктивната логика го доказват в изчистена форма.
Представителите на интуиционистката логика не признават този принцип.
Конструктивно пропозиционално смятане от V.I.Гливенко и А. Н. Колмогоров
С въвеждането на понятията „псевдоистина“ (двойно отрицание на съждение) и „псевдоматематика“ („математика на псевдоистината“), Колмогоров доказва, че всяко заключение, получено с помощта на закона за изключената среда, е вярно, ако вместо всяко съждение, включено в неговата формулировка, се постави съждение, което потвърждава двойното му отрицание. Така той показа, че в „математиката на псевдоистината“ е възможно да се приложи принципът на изключената среда.
Какъв е обхватът на частната логика на съжденията? Всички негови формули са верни за съждения от типаA ',, включително за всички крайни и за всички отрицателни съждения, т.е. неговата област на приложение съвпада с областта на приложимост на формулата за двойно отрицание (Символите A ', B' означават произволни съждения, за които самото съждение следва от двойното отрицание.)
Конструктивната логика на А. А. Марков
Проблемът с конструктивното разбиране на логическите връзки, по-специално на отрицанието и импликацията, изисква използването на специални точни формални езици в логиката. Конструктивната математическа логика на А. А. Марков се основава на идеята за поетапно изграждане на формални езици. Първо, въвежда се формален езикIo,, в който изреченията се изразяват с
определени правила под формата на формули; има дефиниция на значението на израза на този език, т.е. семантика. Правилата за извод позволяват, започвайки от правилни изречения, винаги да се получават правилни изречения.
В конструктивната математика се формулират теореми за съществуване, които гласят, че има обект, който отговаря на такива или такива изисквания. Това означава, че изграждането на такъв обект е потенциално осъществимо, т.е. ние притежаваме метода на изграждането му. Това е градивноразбирането на твърденията за съществуването се различава от класическото. В конструктивната математика и логика тълкуването на дизюнкцията също е различно, което се разбира като възможност за посочване на нейния истински член. „Осъществимост“ означава потенциалната осъществимост на конструктивен процес, водещ до един от условията на дизюнкцията, който трябва да е верен. Класическото разбиране за дизюнкция не предполага намиране на нейния истински член.
Новото разбиране на логическите връзки изисква нова логика. Считаме твърдението на А. А. Марков за неуникалността на логиката за вярно и много дълбоко: „В самата идея за неуникалността на логиката, разбира се, няма нищо изненадващо. Наистина, защо всички наши разсъждения, за каквото и да разсъждаваме, трябва да се ръководят от едни и същи закони? Няма причина за това. Напротив, би било изненадващо, ако логиката беше уникална.
В конструктивната математическа логика А. А. Марков въвежда понятието „разрешимо предложение” и свързаното с него понятие „пряко отрицание”. В логиката на А. А. Марков има и друг вид отрицание - подсилено отрицание, което се отнася до така наречените полуразрешими твърдения.
В допълнение към материалната и засилена импликация, при установяване на истинността на която трябва да се грижи за истинността на предпоставката и заключението, А. А. Марков въвежда дедуктивна импликация, обусловена от различен принцип. Дедуктивната импликация „акоA,тогаваB”изразява възможността за извличане наBотAспоред фиксирани правила, всяко от които, когато се прилага към правилни формули, ще даде правилни формули. Всяко твърдение, извлечено от вярно твърдение, ще бъде вярно.
Чрез дедуктивна импликация А. А. Марков дефинира редуктивното отрицание (reductio adабсурд). Редуктивното отрицание на твърдениетоA(формулирано на този език) се разбира като дедуктивна импликация „акоA,тогаваL”,къдетоLозначава абсурд. Това определение за отрицание съответства на обичайната практика на разсъждение на математика: математикът отрича предпоставката, от която следва абсурдното. За да се установи истинността на редуктивното отрицание на дадено твърдение, не е необходимо да се задълбочава в смисъла на това твърдение. Твърдение, за което е установена истинността на редуктивното отрицание, не може да бъде вярно.
Тези три различни разбирания за отрицание не влизат в конфликт помежду си, те са координирани, което според А. А. Марков ще позволи да се комбинират всички тези разбирания за отрицание.
Показателно е следното обстоятелство: А. А. Марков изгражда своите конструктивни логически системи за обосноваване на конструктивната математика по такъв начин, че да получава не една цялостна система, а цяла йерархия от системи. Това е система от езициI0,I1I2, I3,I4,I5, .IN(къдетоNе естествено число) и обхващащият езикIω следIω езикътIω`.
И така, ние сме склонни да мислим, че развиващата се конструктивна логика и математика не могат да бъдат поставени в едно формално смятане, за това се нуждаем от система, състояща се от цяла йерархия от системи, в която ще има йерархия от отрицания.
Проблемите на конструктивната логика и теорията на алгоритмите се изучават от българския математик Н. М. Нагорни и др.