§ 5. Смятане на класовете

Развитието на адекватна символична нотация, заедно с откриването на формалните свойства на отношенията, направи възможно обобщаването на традиционната логика, както и получаването на мощно смятане.

Например, операциите събиране, умножение и т.н. в математическите науки могат да се разглеждат от гледна точка на релационната теория. По този начин операцията на добавяне се основава на триместна връзка. Отношението a + b = c свързва два члена, a и b, с c. Тази връзка е мулти-уникална, тъй като всяка двойка термини съответства на една и само една сума, докато една сума съответства на неопределен брой двойки термини. Въпреки това, ако сборът и един от членовете са фиксирани, тогава другият член е еднозначно определим. Подобни тристранни отношения, присъстващи в различни видове операции, могат да бъдат разгледани по-подробно.

Не е необходимо обаче тези операции да бъдат просто обикновени алгебрични операции. Операциите обикновено от неколичествен тип са разработени, за да комбинират разглежданите класове с техните обеми.

По-долу предлагаме кратко описание на общата теория на класовете съждения, която бихме искали да предговорим със съвет, взет от работата на Доджсън: „Ако не разбирате определен пасаж, прочетете го отново. Ако все още няма смисъл, прочетете го отново. Ако след като сте прочели пасажа три пъти, не сте достигнали разбиране, тогава най-вероятно мозъкът ви е започнал да се уморява. В такъв случай оставете книгата настрана и се заемете с други неща и на следващия ден, когато я прочетете със свежи очи, тя със сигурност ще изглежда доста лесна за разбиране.

От историята на символната логика е известно, че теорията на класовете е разработена първо, тъй като първоначално е забелязано, че аристотелова логика може да се счита закато дисциплина, занимаваща се с взаимоотношенията между класовете. Въпреки това, в систематичното изложение на принципите на логиката, логиката на класовете не заема първо място спрямо други принципи. Да се каже, че два класа стоят в определено отношение един към друг, означава да се каже определено твърдение. Всяко изследване в рамките на класовата теория използва принципите на теорията на съжденията. Следователно теорията на съжденията предхожда всяко друго изследване в областта на логиката и трябва да бъде развита на първо място. Въпреки това, в толкова елементарна дискусия като нашето изследване, това обстоятелство може да бъде пренебрегнато, тъй като нашата основна цел е да посочим посоката, в която традиционната логика може да бъде разширена, а не да предложим систематичен анализ на обобщена логическа теория. Следователно нищо страшно няма да се случи, ако след като променим логическия ред, следваме хронологичната последователност в развитието на тези логически принципи.

Операции и взаимоотношения

Под термина "клас" разбираме група от отделни обекти, всеки от които има определени свойства, поради които се счита за член на този клас. По този начин класът, означен с термина "човек", е набор от индивиди, класът, означен с термина "четно число", е набор от четни цели числа и т. н. По този начин ще разгледаме класовете по отношение на техния обхват. Областта на възможните класове се нарича вселената на разсъжденията (предметна област) или просто вселената (област). Той ще бъде обозначен със символа "1". Може да се случи класът да не съдържа членове. Например, човешки клас с височина двадесет фута няма членове, въпреки че има определяща характеристика, иа именно мъж висок двадесет фута. Такъв клас ще се нарича нулев клас и ще се обозначава със символа "O". Концепцията за нулев клас, макар и трудна за начинаещи, има много технически предимства.

Има три вида операции върху класове, всяка от които има свое собствено обозначение. Нека разгледаме класа на хората във вселената на хората. Като изключим този клас от посочената вселена, получаваме класа жени. Индивидите, които са членове на вселената, но не са членове на мъжката класа, ще бъдат наричани „добавка“ към мъжката класа. Следователно жените допълват класата на мъжете в тази вселена на разсъждение. Класът и неговото допълнение се изключват взаимно и изчерпват вселената на разсъжденията. Ако "a" представлява клас, тогава "not-a" представлява неговото отрицание.

Сега разгледайте два класа: английски книги и френски книги. Клас, съдържащ английски или френски книги, се нарича логическа сума на тези класове. Операцията за комбиниране на класове по този начин се нарича логическо събиране. Ако a и b са класове, тогава тяхната логическа сума е a + b. Чете се или като "a плюс b", или като "a или b". Тази дизюнкция не е строга. Символът "+" се използва, защото логическото събиране има някои формални аналогии в сравнение със събирането в обикновената аритметика.

След това помислете за класа на професорите и класа на раздразнителните хора. Да кажем, че искаме да изберем всички индивиди, които са членове и на двата класа, за да получим клас раздразнителни професори. Такава операция се нарича логическо умножение, а нейният резултат се нарича логическо произведение на два класа. Ако a и b са класове, тогава техният продукт може да се означи като "a x b" или просто като "ab".

На този етап става ясно откъде идва идеята за нулев клас. Вярваме, че като умножаваме класове, получаваме класове. Логическото произведение на класовете жени и машинисти на електрически локомотиви е класът жени машинисти на електрически локомотиви. Следователно този клас ще бъде клас, дори ако няма членове.