686. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида със страничен ръб l, ако: а) страничният ръб сключва ъгъл φ с равнината на основата; б) страничният ръб сключва ъгъл α със съседната страна на основата; в) плоският ъгъл при върха е равен на β.

686. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида със страничен ръб l, ако: а) страничният ръб сключва ъгъл φ с равнината на основата; б) страничният ръб сключва ъгъл α със съседната страна на основата; в) плоският ъгъл при върха е равен на β.
От правоъгълен триъгълник ΔADO:


Точка O е центърът ΔABC, OA е радиусът на описаната окръжност около ΔABC.
По закона на синусите:

б) ΔADC е равнобедрен.

По закона на косинусите имаме:
Нека изчислим дължината на отсечката OA, OA=R, където R е радиусът на окръжността, описана около ΔABC.
в) ΔBDC е равнобедрен. Според закона на косинусите:
В триъгълник ΔABC: OA е радиусът на описаната окръжност: