Аксиоматичен метод в математическата логика
Терминът „предложение“ понякога се използва за понятието „предложение“, което е паус от английски. Ние не използваме този термин, но казваме „пропозиционален“ в смисъла на пропозиционалната логика. Централните понятия на тази част сапропозиционални формулиипропозиционално заключение.
Обектен език и метаезик
Първо, няколко общи бележки. В логиката е важно да се прави разлика между два езика: този, който е обект на нашето изследване, и този, който използваме, за да говорим за този обект. Първият се наричаобектен език, вторият се наричаметаезик. В нашето представяне на пропозиционалната логика, обектният език е формалният език на пропозиционалните формули, а метаезикът е обичайният неформален език на математиката – смесица от български и математически означения.
Пропозиционалните формули ще бъдат дефинирани като крайни последователности от знаци, взети от определена азбука. Възможно е да се развие теорията на крайните последователности на строго аксиоматична основа, но ние няма да го правим тук. При доказване на метатеореми ще бъдем свободни да използваме всички известни свойства на естествените числа, от които може да се нуждаем, без да ги доказваме въз основа на аксиомите на аритметиката (от част 1).
Пропозиционални формули
Вземете непразен пропозиционален подпис s, който не съдържа нито пропозиционални връзки, нито скоби (,). Азбуката на пропозиционалната логика се състои от атоми на сигнатура s, пропозиционални връзки и скоби. Поднизимаме предвид крайна последователност (низ) от знаци в тази азбука.
За да дефинираме понятието пропозиционална формула, се нуждаем от следното спомагателно определение.
Дефиниция 7.КомплектXредовее затворен по отношение на правилата за конструиране(запропозиционална логика), ако
- всеки атом принадлежи наX,
- за всеки низF, акоFпринадлежи наX, тогава¬Fсъщо принадлежи,
- за всякакви низовеF, Gи всеки двоичен съединител D, акоFиGпринадлежат наX, тогава също принадлежи на (FDG).
2.1Посочете два примера за набор от низове: единият е затворен, другият не е затворен по отношение на правилата за конструиране.
Дефиниция 8 (Формула).НизътFсе наричапропозиционална формула, акоFпринадлежи на всички множества, които са затворени по правилата за конструиране.
2.2Наборът от формули е затворен съгласно правилата за конструиране.
Дефиницията на формула показва, че множеството от формули е най-малкото множество от низове, които са затворени по отношение на правилата за конструиране; всеки друг такъв набор включва набор от формули.
В следващите две задачи приемаме, че въпросният подпис е p, q>.
Следващите два раздела обосновават правилността на въведените по-долу концепции.
Доказателство на свойствата на формулите чрез индукция
Разбор на формули
В този и следващия раздел работим с булеви функции, които се използват при интерпретацията на формули на пропозиционална логика. *
Дефиниция 10 (Тълкуване).Символите n и (``false'', ``true'') се наричат стойности на истината.Интерпретацияна пропозиционалната сигнатура s е функция от s до n,u>.
Ако s е краен, тогава интерпретацията може да бъде дефинирана от таблица с неговите стойности, например: