Дипломна работа на тема „Определяне на основните елементарни функции с помощта на функционал

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА България

ФЕДЕРАЛЕН ДЪРЖАВЕН БЮДЖЕТ

НА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ "ТАМБОВ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ

НА ИМЕТО Г.Р. ДЕРЖАВИНА"

Институт по математика, физика и информатика

Катедра по функционален анализ

Подходящ за защита

________ Молчанов В.Ф.

Стерликова Марина Игоревна

"Определяне на основни елементарни функции чрез функционални уравнения"

6-ти курс студенти

дистанционно обучение

______________ Стерликова M.I.

c.f.-m. д-р, доцент в катедрата по функционален анализ

Фомичева Юлия Генадиевна

_____________ Фомичева Ю.Г.

Стерликова M.I. Определяне на основните елементарни функции с помощта на функционални уравнения: заключителна квалификационна работа / Стерликова Марина Игоревна; Тамбовски държавен университет на името на G.R. Державин, Институт по математика, физика и информатика, Катедра по алгебра и геометрия.- Тамбов, 2015.- 40p.

Ключови думи: функционални уравнения, методи за решаване на функционални уравнения, елементарни функции, уравнения на Коши.

Целта на крайната квалификационна работа: изучаване на функционални уравнения и приложението на тези уравнения за дефинирането на елементарни функции: линейни, експоненциални, логаритмични, степенни и тригонометрични функции.

Методи: анализ, изследване

Анотация: Тази работа се основава на анализ на учебни помагала. Статията разглежда основните въпроси относно функционалните уравнения, методите за решаване на функционални уравнения. Дадените примери и задачи ви позволяват успешно да овладеетезнания по изучаваната дисциплина. Въпросите, разглеждани в работата, не само разширяват хоризонтите, но имат и учебна функция, което само подчертава важността на избраната тема.

Въведение

Функционалните уравнения се изучават от много дълго време, този курс никога не е намерил достойно място в математическите програми. Жалко. В края на краищата, решаването на отделни функционални уравнения изисква доста дълбоко разбиране на предмета и внушава любов към независима творческа работа.

В момента съдържанието на различни олимпиади - от училищни и градски до международни - започна да включва така наречените функционални уравнения и неравенства. Дори има идея за включване на такива уравнения и неравенства в съдържанието на приемните изпити във висшите учебни заведения за различни факултети. Следователно има все повече хора, които искат да се научат как да решават подобни проблеми. Следователно можем да кажем с увереност, че темата "Функционални уравнения" е доста актуална днес. Понастоящем практически няма ръководства, в които да се преподава решаването на функционални уравнения. Ето защо има нужда от ръководство, което чрез прости и конкретни примери да е в състояние да покаже целия арсенал от съвременни методи за решаване на функционални уравнения. В нашата последна квалификационна работа ще се опитаме да разрешим този проблем.

Задачи :

- да изучава научната и практическата литература по темата на крайната квалификационна работа,

- разгледайте функционални уравнения,

- разкриват методи за решаване на функционалниуравнения,

- съставят функционални уравнения, съответстващи на елементарни функции,

- развитие на интерес към решаване на нестандартни математически задачи и математиката като цяло.

При написването на работата са проучени и анализирани 4 източника.

Дипломната работа се състои от две глави.

В първата глава ще разгледаме методите за решаване на функционални уравнения: методът за редуциране на функционално уравнение до известно уравнение чрез замяна на променлива и функция, методът на заместване, прилагане на елементи от математическия анализ за решаване на функционални уравнения; за всеки метод бяха избрани примери за решаване на уравнения.

Във втората глава представяме дефиницията на основни елементарни функции ( [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] ) с помощта на функционални уравнения и също така разглеждаме някои от техните свойства.

Въпросите, разглеждани в работата, не само разширяват хоризонтите, но имат и учебна функция, което само подчертава важността на избраната тема.

История на развитието на функционалните уравнения

Функционално уравнение в тесния смисъл на думата е уравнение, чиято неизвестна функция е свързана с известните функции на една или повече променливи чрез образуване на сложна функция (композиция).

Например: [pic],където[pic]-неизвестна функция,[pic]и[pic] -независими променливи.

Някои функционални уравнения са ни познати от училищния курс, това са [pic],[pic], [pic] ,, които задават такива свойства на функции като четно, нечетно, периодичност.

Решение на функционално уравнение върху набор [pic] е функция, при заместването й във функционално уравнение се превръща вправилно равенство върху множеството [pic] .

Например:Нека покажем, че функцията [pic] е решението на функционалното уравнение [pic] .

Наистина [pic] [pic] за всичкиxиy.Следователно функцията [pic] е решението на функционалното уравнение [pic].Проблемът за решаване на функционални уравнения е един от най-старите в математическия анализ. Те се появяват почти едновременно с началото на теорията на функциите. Първият истински разцвет на тази дисциплина е свързан с проблема за успоредника на силите. Още през 1769 г. д'Аламбер намалява обосновката на закона за събиране на силите до решението на функционалното уравнение

Същото уравнение със същата цел е разгледано от Поасон през 1804 г. при известно предположение за аналитичност, докато през 1821 г. Коши (1789 - 1857) намира общи решения на това уравнение [pic] , [pic] , [pic] , като се допуска само непрекъснатост [pic] .

Дори добре известната формула на неевклидовата геометрия за ъгъла на успоредност [pic] е получена от N.I. Лобачевски (1792 - 1856) от функционалното уравнение

[pic] (2) [pic] [pic], който той решава по метод, подобен на метода на Коши.

Редица геометрични проблеми, водещи до функционални уравнения, са разгледани от английския математик К. Бабидж (1792 -1871). Той изучава периодични криви от втори ред, определени от следното свойство за всяка двойка точки от кривата: ако абсцисата на втората точка е равна на ординатата на първата, тогава ординатата на втората точка е равна на абсцисата на първата. Нека такава крива е графиката на функцията [pic] - нейната произволна точка. Тогава съгласно условието точката с абсцисата[pic]има ординатах. следователно

Функционалното уравнение (3) се удовлетворява от функциите: [pic] , [pic]

Едни от най-простите функционални уравнения са уравнениятаКоши

Коши изучава подробно тези уравнения в своя курс на анализ, публикуван през 1821 г. Непрекъснатите решения на тези четири основни уравнения са съответно във формата [pic] .

Може да има и други решения в класа на прекъснатите функции. Уравнение (4) е разгледано преди това от Лежандре и Гаус при извеждането на фундаменталната теорема на проективната геометрия и при изследването на закона за разпределение на вероятностите на Гаус.

Функционалното уравнение (4) отново е приложено от G. Darboux към проблема за паралелограма на силите и към основната теорема на проективната геометрия; основното му постижение е значително отслабване на предположенията. Знаем, че функционалното уравнение на Коши (4) характеризира линейна хомогенна функция в класа на непрекъснати функции[pic] .Darboux показа, че всяко решение, което е непрекъснато поне в една точка или ограничено отгоре (или отдолу) в произволно малък интервал, също трябва да има формата[pic] .възможност за изчислимост чрез измерима функция). Възниква въпросът: има ли поне една адитивна функция (т.е. удовлетворяваща (4)), която да е различна от линейната хомогенна. Намирането на такава функция наистина не е лесно! В хода на работата ще покажем, че за рационално x стойностите на всяка адитивна функция трябва да съвпадат със стойностите на някаква линейна хомогенна функция, т.е.[pic]за [pic] . Изглежда, че тогава[pic]за всички валидни [pic] . Ако [pic] е непрекъснат, тогава това е вярно, но ако това предположение се отхвърли, тогава не. Първият пример за прекъснато решение на функционалното уравнение (4), различно от[pic], е построен през 1905 г. от немския математик Г. Хамел, използвайкиосновата на въведените от него реални числа.

Много функционални уравнения не дефинират конкретна функция, а дефинират широк клас функции, т.е. изразяват свойство, което характеризира един или друг клас функции. Например функционалното уравнение [pic] характеризира класа функции с период 1, а уравнението[pic]характеризира класа функции, които са симетрични спрямо правата [pic] и т.н.

Като цяло, за функционални уравнения, които не се свеждат до диференциал или интеграл, са известни няколко общи метода за решаване. Следователно става необходимо да се разгледа въпросът за методите за решаване на функционални уравнения.