Дробно преобразуване

КОДИРАНЕ НА НОМЕРА

ДВОИЧНА БРОЙНА СИСТЕМА

Двоичната бройна система предполага, че всички числа се състоят от две възможни цифри: "1" и "0". Като цяло принципът на броене остава същият за позиционните бройни системи. Дробно число в десетичната система е дроб от "десет", а в двоична, съответно, дроб от "две". Примерен акаунт е показан в таблица 1.1 по-долу:

Примери за двоични числа

цели числа	дробни числа
двоична система	десетична система	двоична система	десетична система
0,001	0,125
0,010	0,250
0,011	0,370
0,100	0,500
0,101	0,625
0,110	0,750
0,111	0,875
1000	1000

Има правила за преобразуване на двоични числа в десетични и обратно. Целите и дробните числа се преобразуват по различен начин.

Цяло числово преобразуване

Помислете за преобразуване на цяло число 100 от десетична в двоична система. За пояснение всеки номер ще има индекс, обясняващ в коя система е номерът. Целите числа се превеждат чрез последователно деление на базата за броене, в този случай с "2". Числото се разделя изцяло с изчисляване на остатъка (виж фиг. 1). Полученото частно се дели отново на "2" и така нататък, докато последното частно е по-малко от основата на преброяването, т.е. "2" (фиг. 1.1).

Фиг. 1.1. Преобразуване на цяло число от десетична в двоична система

Получените остатъци са нужните ни цифри. Записваме "1" и след това нашите останки, започвайки с последния, който се оказа. В резултат на това имаме: 10010 → 11001002

Обратно изчислениепреобразуването на двоично число в десетично се извършва въз основа на разширената форма на числото. Нека обратно преобразуваме полученото по-горе число в десетична форма. Номерираме цифрите на номера, започвайки от най-младия:

След това умножете освобождаването от отговорност по основата на сметката на степен на нейния пореден номер и сумирайте резултата:

1 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 0 2 0 = 64 + 32 + 4 = 10010

Както виждаме, преобразуването на цели числа между двоична и десетична система е абсолютно точно. Следователно използването на цели числа в програмирането е за предпочитане.

Преобразуване на дробни числа

Дробните числа се преобразуват чрез други методи, а именно умножение. Умножаваме само дробната част, докато изчезне. Нека демонстрираме преобразуването на числото 0,12510 и 0,110 в двоичната бройна система:

×	0,125	×	0,1
×	0,250	×	0,2
×	0,500	×	0,4
1000	×	0,8
×	1,6*
×	1.2
0,4

Ориз. 1.2. Преобразуване на дробно число от десетична в двоична система

(* - само дробната част от числото подлежи на умножение, следователно - 0,6 2 \u003d 1,2)

Цифрите на двоично число ще бъдат целите части на числата, образувани по време на умножението. Първата нула в оригиналното число е нула в целочислената част, а останалите са битове от двоичното число. Следователно имаме 0,12510 → 0,0012. Във втория случай има зацикляне на изчисленията, така че изчисленията дават двоично число с безкрайна дробна част (ирационално число), което се записва по следния начин 0,000110011(0011) ... (виж Фиг. 1.2).

Тъй като в компютърната памет могат да бъдат всички числасамо рационални, тогава полученото число трябва да се закръгли до дадена точност (нужния брой цифри в клетките на паметта на компютъра), което въвежда грешка. По този начин не всички дробни числа, въведени в десетичната бройна система, са представени точно в паметта на компютъра.

Обратният превод се извършва по същия начин, както при целите числа, но степените в израза ще бъдат отрицателни:

-1	-2	-3
0,

Нека добавим цифрите, като вземем предвид техните степени:

-1-2-3-4-5-6-7-8-90,

Нека добавим цифрите, като вземем предвид техните степени:

Резултатът е само приблизително равен на оригиналното число (вижте бележката по-горе)

Ако едно число съдържа цяло число и дробна част едновременно, то се преобразува на две стъпки: всяка от частите се преобразува отделно една от друга и след това се комбинира. Например числото 23.4310 ще бъде преобразувано, както следва:

Нека преобразуваме цялата част от 2310 в двоичната система:

Нека преобразуваме дробната част от 0,4310 в двоичната система:

×	0,43		×	1.76
×	0,86	×	1.52
×	1.72	×	1.04
×	1.44	×	0,08
×	0,88	0,16
…
1.76	и т.н.

За да получим крайното число, свързваме двете части заедно и получаваме:

Извършваме обратното преизчисляване, както е показано по-горе, чрез разширената форма на числото:

-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
1,

Ще добавим цифрите, като вземем предвид техните степени (за простота ще разгледаме само значими цифри, различни от нула):

---