Електронна библиотека Теория на вероятностите и математическа статистика
Въз основа на класическата дефиниция на вероятностите могат да се докажат теореми за изчисляване на вероятностите за сложни събития.
Теорема за добавяне на вероятности за несъвместими събития
Ако събитиеАе сумата от несъвместими събитияВиС, включени в полето от събитияS, тогава вероятността за сумата от тези събития е равна на сумата от техните вероятности:
. (1.3)
Доказателство. Нека събитиеBсе предпочита отMB, а събитиеС-MSот събитияЕiна системаS. Поради несъвместимостта на събитияBиC, случаятEi, който благоприятстваB, не може да бъде благоприятен заCи обратно. Следователно събитиетоAсе предпочита от случаите M=MB+MC от общия бройNслучаи, откъдето:
.
Последствие.Вероятността за събитието,противоположно на събитиетоA, е равна на единица без вероятността за събитиетоA:
(1.4)
Доказателство. СъбитияAиса несъвместими и заедно съставляват надеждно събитиеU. Прилагайки теоремата за добавяне на вероятности, получаваме:
.
Тъй като вероятността за определено събитие е равна на единица, получаваме:
.
Пример 1.4.Всяко от трите несъвместими събитияA, BиCвъзниква съответно с вероятности 0,01; 0,02 и 0,03. Намерете вероятността в резултат на експеримента да не настъпи събитие.
Решение.Намерете вероятността поне едно от събитиятаA, BиCда се случи в резултат на експеримента, тоест ще намерим вероятността за сумата от събитияD=A+B+C. Тъй като според условието събитиятаA, BиCса несъвместими:
.
Събитието, чиято вероятност искате да намерите в задачата, е обратното на събитиетоD.Следователно желаната вероятност е равна на:
.
Две събитияAиBсе наричат зависими, ако вероятността за едно от тях зависи от настъпването или ненастъпването на другото. В случай на зависими събития се въвежда понятието условна вероятност за събитие.
Условната вероятност P(A ½ B) за събитиетоAе вероятността за събитиетоA, изчислена при условие, че събитиетоBе настъпило. По подобен начин P(B ½ A) означава условната вероятност за събитиеBпри условие, че A е настъпило.
Безусловната вероятност на събитиетоAсе различава от условната вероятност на това събитие. Да предположим например, че са хвърлени две монети и искате да определите вероятността да се появят две глави (събитиеA), ако е известно, че първата монета ще се появи с глави (събитиеB). Всички възможни случаи са както следва: (глави, опашки), (глави, орли), (опашки, глави), (опашки, опашки), в скоби на първо място е посочена страната на първата монета, а на второ място е втората монета.
Ако говорим за безусловната вероятност на събитияА, то N=4, M=1 и P(A)=0,25. Ако събитиетоBсе случи, тогава броят на благоприятнитеAслучаи остава същият M=1, а броят на възможните случаи N=2: (глави, глави), (глави, опашки). Следователно, условната вероятностA, при условие чеBсе е случило, е P(A ½ B)=0,5.
Теорема за умножение на вероятността за зависими събития.Вероятността за съвместна поява на две зависими събития е равна на вероятността за едно събитие, умножена по условната вероятност за друго събитие, при условие че първото се е случило:
. (1,5)
Доказателство. Нека събитиеAе предпочитано от m случая, събитиеBе предпочитано от k случая и събитиеABе предпочитано от r случая. очевидно,r£mиr£k. Нека означим сNброя на всички възможни случаи, тогаваАко събитиетоAсе е случило, тогава ще се случи един от m благоприятни случая. При това условие, събитиетоBсе предпочита от r и самоrслучаи, предпочитащиAB. Следователно,. . Подобен . Заместване на подходящата нотация в очевидните равенства:
,
получаваме: .
Казва се, че събитиетоAе независимо от събитиетоB, ако равенството P(A ½ B)=P(A) е в сила.
Следствие 1.Вероятността за съвместна поява на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития (теорема за умножение за независими събития):
. (1.6)
Доказателство. Нека A е независимо от B, тогава съгласно теоремата за умножение на вероятностите и равенството P(A/B)=P(A), получаваме P(AB)=P(B) P(A) или P(AB)=P(A) × P(B), така че следствието е доказано.
Освен това имаме равенството:
,
откъдето P(B ½ A) = P(B), т.е. свойството за независимост на събитията е взаимно: ако A не зависи от B, тогава B не зависи от A.
Следствие 2.Вероятността за сумата от две събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за тяхното съвместно възникване (теорема за добавяне за всякакви събития), т.е. акоAиBса събития, съвместни или несъвместими, тогава:
. (1,7)
Доказателство.Разгледайте следните представяния на събитияA+BиB:
.
Тъй като несъвместимите събития са представени от дясната страна, тогава, прилагайки теоремата за добавяне на вероятността, получаваме:
,
.
Имайте предвид, че ако събитиятаAиBса несъвместими, тогава тяхното съвместно възникване е невъзможно: AB=V и P(AB)=P(V)=0, така че:
Последствие3. Нека се извършатnеднакви независими опити, във всяко от които събитиетоАсе появява с вероятностр. Тогава вероятността за възникване на събитиетоAпоне веднъж по време на тези тестове е равна на1-(1-р) n .
Доказателство. Нека означим сAiпоявата на събитиетоAв i-тия тест (i=1,2. n). Тогава събитиетоB, което се състои в появата на събитиетоAв n опита поне веднъж, ще бъде записано като:
.
Да разгледаме събитието, което означава, че по време наnтестове, събитиетоAникога няма да се появи, тогава:
.
От , получаваме това
.
Тъй като за всякоiсъбитияAiне зависят от другите, накрая получаваме:
.
Пример 1.5.Вероятността стрелецът да уцели целта с всеки изстрел е 0,8. Намерете вероятността след два изстрела целта да бъде повредена.
Решение.Нека означим сА1събитието, състоящо се в попадение в целта при първия изстрел, а сА2- при втория изстрел. ТогаваA1´A2е събитие, което означава попадение в целта и с двата изстрела. СъбитиетоА, чиято вероятност се намира в задачата, е сумата от събитиетоА1иА2. Прилагайки теоремите за събиране и умножение на вероятности за съвместими независими събитияA1иA2получаваме:
Като заместим стойността, ще имаме:
.
Желаната вероятност може да се намери по друг начин: събитиятаA, които се състоят в уцелване на целта с поне един изстрел и , което означава, че целта не е улучена с нито един изстрел, са противоположни, следователно, прилагайки теоремата за умножение на вероятността, ние изчисляваме вероятността да уцелим целта с поне единизстрел.
Тъй като , желаната вероятност е равна на
.
Пример 1.6.Вероятността стрелецът да уцели целта с един изстрел е 0,2. Колко изстрела трябва да направи стрелецът, за да уцели целта поне веднъж с вероятност най-малко 0,9?
Решение. Означаваме със събитиетоАстрелецът поразява целта поне веднъж за n изстрела. Тъй като събитията, състоящи се в поразяване на целта на първия, втория и т.н. изстрелите са независими, желаната вероятност е равна на:
По условие Р(А) ³ 0,9 и
,
следователно,
и в резултат получаваме:
.
Оттук. Като вземем логаритъма на това неравенство и вземем предвид, че , получаваме: , т.е. следователно стрелецът трябва да стреля най-малко 11 изстрела.