Физика + математика
Указания за представяне на темите "Механични вибрации", "Енергия на свободните вибрации". 10 клас. Ниво на профил
Неразделна част от механиката, чието значение едва ли може да бъде надценено, е темата "Трептения". Развитието му допринася за по-задълбочено и по-пълно разбиране на същността на физическите процеси от различно естество, в много отношения позволява прехвърлянето на способността за решаване на математически проблеми за решаване на физически проблеми. Но проблемът с такова прехвърляне според нас е един от най-трудните в обучението по физика.
Въпреки това, изучаването на темата "Хармонични трептения", както може би никоя друга тема в училищния курс по физика, се усложнява от съществуващите несъответствия в програмите по физика и математика. Това важи и за съдържанието на материала от 9. и 10. клас. Например в 9. клас успешното полагане на теста изисква от учениците да познават графиката на зависимостта на координатата на трептящо тяло от времето и да могат да определят периода на трептене от нея, както и да познават графиката на зависимостта на координатата на точката, до която е достигнало смущението, от разстоянието до източника на вибрации и да могат да определят дължината на вълната от него. Въпреки това, в курса на математиката, графиките на функциите синус и косинус все още не са изучавани до този момент. Следователно според нас е необходимо да се намери време в урока, за да се направят аналогии между движението на материална точка по окръжност с постоянна скорост в абсолютна стойност и осцилаторно движение, като по този начин се обясни поне качествено формата на графиките на синусоидални и косинусови зависимости.
В 10 клас в този смисъл положението не е по-добро. Повечето от проблемите се отстраняват, ако се спазва последователността на представяне на материала, предложена в учебниците на Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, където изучаването на механичните вибрации е прехвърлено към11 клас и предшества изучаването на електромагнитни трептения. Ясно е обаче, че това нарушава целостта на изложението на материала по механика.
Получаване на уравнения за зависимостта на кинематичните величини от времето за хармонични трептения с помощта на координатния метод за описание на въртеливо движение или как да избегнем производните
В курса по физикаV.A.Kasyanov, по който работя, уравненията на зависимостта на координатата, скоростта и ускорението от времето за хармонични трептения се въвеждат още в 10 клас, като се прави аналогия между колебателното движение и равномерното движение около окръжност, което ни позволява да се справим без понятието производна (втората част на § 18 е посветена на това). Ясно е, че за трептения, започващи от положението на максималното преместване, уравненията за зависимостта на координатата, проекцията на скоростта и проекцията на ускорението от времето имат вида:
х = Acost;
x = –Asint= –sint;
ax = –cost= –acost.
Въпреки това, в § 18 се разглеждат само координататаxи, съответно, проекциите на скоростта и ускорението върху остаX. Това води до погрешното разбиране на учениците, че координатата на трептящо тяло може да се промени само по косинусния закон, а проекцията на скоростта може да се промени само по синусния закон.
Трябва да се изясни, че изборът на функция се определя от началните условия: ако трептенията започват от равновесното положение (x0 = 0), тогава процесът се описва със синус, а ако трептенията започват от положението на максимално преместване (x0 =А), тогава с косинус. В първия случай координатата на трептящото тяло се променя по същия начин като координататаy, когато точката се движи равномерно по окръжността:y=Asint.
Съответнопроекцията на скоростта зависи от времето според законаy=cos =cost=Acost(виж фигурата).
Зависимостта на проекцията на ускорението върху остаyот времето се определя лесно от фигурата:
ay= –asin = –sint.
Въпреки факта, че последното уравнение дава недвусмислена зависимост на ускорението на колебателното движение от времето, много ученици нямат пълно разбиране, както показва практиката, че трептенията са ускорени, но не и равномерно ускорени движения. (Инерцията на мисленето е голяма: почти половин година са изучавани само два вида движение - равномерно и равномерно ускорено.) Ето защо, според нас, е изключително необходимо в процеса на фиксиране на материала да се включват задачи от този тип:
• По даденото уравнениеx= 0.1 cos 6.28tопределете периода, честотата, амплитудата на трептенията на материална точка с маса 200 г. Запишете уравненията за зависимостта на скоростта, ускорението и движещата сила от времето.
Отговор. В SI:х = –0,628 sin 6,28t;ax = –4 cos 6.28t;Fx =–0,8 cos 6,28t.
• Кои от изброените физични величини, описващи незатихващи хармонични трептения, се променят във времето: честота, период, амплитуда, координата, скорост, ускорение, импулс, сила?
Отговор. Първите три величини са постоянни, последните пет се променят според хармоничния закон.
Графики на зависимостите на кинетичната и потенциалната енергия на пружинно махало от удължението на пружинатаx.При описание на енергията на свободните трептения в § 38 от учебникаV.A. Не се дава обяснение за това. ГрафикатаEp(x) се обяснява лесно от учениците въз основа наформулиEn =kx2 /2. Насочените нагоре клони на параболата съответстват на положителен коефициент приx2, симетрията на графиката по отношение на вертикалната ос показва една и съща стойност на потенциалната енергия в случаите на напрежение и компресия с равни промени в дължината на пружината.
От гледна точка на математиката, графиката на тази зависимост е парабола с клони, обърнати надолу, чийто връх е изместен нагоре по вертикалната ос с количество, равно на стойността на общата енергия.
Лесно е да се обясни физическият смисъл на тази графика. Когато тялото премине равновесното положение, неговата потенциална енергия приема минимална стойност, докато кинетичната енергия става максимална. При най-голямо изместване на махалото от равновесното положение, обратно. С увеличаване на стойността на един вид енергия стойността на друг вид намалява в пълно съответствие със закона за запазване на общата механична енергия.
Графики на кинетичната и потенциалната енергия спрямо времето. Говорейки за зависимостта на енергията на трептенията на пружинно махало от удължението на пружината, според нас би било непоследователно да не се спираме на зависимостта на кинетичната и потенциалната енергия на осцилиращата материална точка от времето. Вярно е, че за математическата обосновка на тази графика е необходимо да се използват формулите за редукция от тригонометрията: cos 2 \u003d (1 + cos2) / 2; sin 2 \u003d (1 - cos2) / 2.
Десетокласниците може още да не знаят тези формули в средата на годината. Толкова по-добре ще ги запомнят при изучаване на съответната тема по математика. Можете да предложите на учениците самостоятелно да получат уравненията за зависимостта на кинетичната и потенциалната енергия от времето, като използват формули за редукция и след това проверете резултата:
En =kx2 /2 =kA2 cos 2t/2 =(kA2 /2)(1+ cos 2)/2 =Ep.max/2 + (Ep.max/2) cos 2t.
Получихме уравнението на косинусова вълна, изместена нагоре по вертикалната ос с половината от общата енергия и имаща честота, която е два пъти по-голяма от честотата на трептенията на координатата, скоростта и ускорението.
Заслужава да се обсъди и въпросът защо посочените честоти се различават два пъти. Тъй като енергията остава положителна в процеса на трептене, нейният период е половината от периода на трептене на координата, скорост и ускорение.
За консолидиране на материала могат да бъдат предложени следните задачи.
• Определете стойността на потенциалната енергия на трептящото тяло по графикатаEк(t) в момента, съответстващ на произволна точка.
Решение. Според графиката определяме амплитудата на колебанията на кинетичната енергия и стойността на тази енергия в този момент (в тази точка). Разликата между тези стойности е равна на потенциалната енергия на тялото.
• Уравнението на трептенията на товара върху пружина има форматаx= 0,2 cos 6,28t. В кой момент от началото на трептенията кинетичната енергия на товара ще вземе максималната си стойност за втори път?
Решение. От уравнението: = 6,28 rad/s;T= 2/ = 1 s;Tc.max = 0.5 s;t= 0,75 s.