Формули за съкратено умножение, социална мрежа на преподавателя

В курса по математика за 7 клас се изучават съкратени формули за умножение и аз се заех да науча повече за тях, тъй като тези формули помагат за рационалното изпълнение на някои задачи.

В хода на работата си разгледах проблемите на училищните и извънкласните програми, както и исторически сведения по темата. Част от работата е посветена на формули за съкратено умножение, които ги няма в учебника по алгебра за 7 клас. Тази тема е важна в курса по математика и се използва през целия период на обучение: при умножаване на полиноми, опростяване на алгебрични изрази, намаляване на дроби, факторизиране, решаване на уравнения и други. Искам да задълбоча знанията си по тази много интересна тема.

Тема за изследване:„Формули за намалено умножение“

Предмет на изследване:Полином.

Цел:да разгледа съществуването на други формули за намалено умножение, които не са включени в училищната програма

Съберете информация от историята на математиката за формулите за съкратено умножение.
Разгледайте различни начини за повдигане на квадрат на алгебричната сума на няколко члена.
Научете как да повдигнете алгебричната сума на два члена на n-та степен.
Подбиране и решаване на задачи с формули за съкратено умножение.

Мисля, че след като проуча тази тема и я приложа на практика, ще разширя и задълбоча знанията си, а това ще допринесе за развитието на логическото и творческо мислене в процеса на решаване на проблемни задачи. Това ще ми помогне да се подготвя за GCSE по математика за 9-ти клас, като мога да правя някои от упражненията рационално.

Общинско учебно заведение

"Средно аритметичносредно училище № 3г. Свирск"

Формули за съкратено умножение

Попълнено от ученик от 7 "Б" клас

Проверен от учител по математика

Черниговская Татяна Анатолиевна

Глава 1. Историческа информация

Глава 2

Глава 3

Глава 4

Глава 5

Глава 6

В курса по математика за 7 клас се изучават съкратени формули за умножение, но ми се стори, че това не са всички формули, които се разглеждат в училищния курс, и се заех да науча повече за тях, тъй като тези формули помагат за рационалното изпълнение на някои задачи.

Тема на изследването: "Формули за намалено умножение"

Предмет на обучение: Полином.

Цел: да се разгледа съществуването на други формули за съкратено умножение, които не се разглеждат в училищната програма

Съберете информация от историята на математиката за формулите за съкратено умножение.
Разгледайте различни начини за повдигане на квадрат на алгебричната сума на няколко члена.
Научете как да повдигате алгебрична степен на n-та степенсумата от два члена.
Подбиране и решаване на задачи с формули за съкратено умножение.

Глава 1. Историческа информация

Някои правила за съкратено умножение са били известни преди около 4 хиляди години. Тогава беше обичайно всички алгебрични твърдения да се изразяват в геометрична форма. Особено широко той използва алгебрични тъждества през 3 век пр.н.е. старогръцки геометър Евклид. При древните гърци количествата се обозначавали не с цифри или букви, а с прави сегменти. Те не казаха „a“, а „квадрат на сегмент a“, не „av“, а „правоъгълник, съдържащ се между сегменти a и b“. Например идентичността ( a + c ) = a + 2av + c във втората книга на „Началата“ на Евклид е формулирана по следния начин: „Ако една права линия (което означава отсечка) е разчленена по някакъв начин, тогава квадратът на цялата линия е равен на квадратите на отсечките заедно с два пъти взетия правоъгълник, ограден между отсечките.“ Доказателството се основаваше на геометрични съображения.

По-нататък ще дам пример за такова доказателство.

Първият учен, който изостави геометричните методи на изразяване и премина към алгебрични уравнения, беше древногръцки математик, живял през 3 век пр.н.е. д. Диофант от Александрия. В книгата си Аритметика Диофант разглежда формулите за квадрата на сумата, квадрата на разликата и разликата на квадратите вече от аритметична гледна точка. Е, съвременните алгебрични идентичности на символизмаполучена благодарение на двама математици, а именно Виета и Декарт (16 век).

На сегашното ниво на развитие на математиката тези формули са обосновани от Исак Нютон. За малки стойности на n, коефициентите могат да бъдат намерени от триъгълника на Паскал. Блез Паскал преди триста и петдесет години излезе със специален инструмент за определяне на същите тези коефициенти, който по-късно беше наречен "триъгълник на Паскал".

Глава 2

В урока по математика се запознах с формулите за съкратено умножение, които знам наизуст.

Всички те се доказват чрез отваряне на скоби чрез умножение на полиноми и редукция на подобни членове.

(a + b) (a - b) = a² - b² (1)

Квадратът на сбора и квадратът на разликата:

(a + b)² = a² + 2ab + b² (2)

(a - b)² = a² - 2ab + b² (3)

Сбор и разлика на кубчета:

(a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³ (4)

(a - b) (a² + ab + b²) = a³ - b³ (5)

Куб на сбора и куб на разликата:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (7)

След това се заинтересувах: как да повдигна на квадрат алгебричната сума на три или четири члена.

Глава 3

Защо отначало разгледах три начина за повдигане на квадрат на сумата от три члена (a+b+c) 2 .

Първият начин: геометричен.

Първо разделих квадрата на фигури, както е показано на фигурата. След това намерих площта на всеки получен квадрат или правоъгълник.

Тъй като площта на цялата фигура е равна на сумата от площите на нейните части, получихме равенството за площта на правоъгълника: S=a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2. След опростяване: S=a 2 + b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc.

Втори начин: извършено алгебрично умножениеполиноми.

(a+b+c)*(a+b+c)=a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 =a 2 + b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc.

Трети начин: представи дадената сума като сбор от два члена и я повдигне на квадрат. ((a+b)+c) 2 =(a+b) 2 +2(a+b)c+c 2 =a 2 + c 2 +b 2 +2ab +2ac+2bc.

И в трите случая резултатът беше един и същ:

(a+b+c) 2 =a 2 + c 2 +b 2 +2ab +2ac+2bc=a 2 + c 2 +b 2 +2(ab+ac+bc)

По подобен начин изведох формула за повдигане на квадрат на сумата от четири члена.

(чрез изчисляване на площта на квадрат). По този начин площта на квадрат е равна на сумата от площите на неговите части:

S \u003d a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +

Полиномно умножение: (a+b+c+d)*(a+b+c+d)=a 2 +ab+ac+ad+ab+b 2 +bc+bd+ac+bc+c 2 +cd+ad+bd+cd+d 2 ==a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

Поставяне на квадрат на сумата от два члена:

((a+b)+(c+d)) 2 =(a+b) 2 +2(a+b)(c+d)+(c+d) 2 =a 2 +2ab+b 2 +2ac+2ad+2bc+2bd+c 2 +

+2cd+d 2 =a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

И отново, във всеки случай получих същия резултат, т.е

(a+b+c+d) 2 =a 2 +b 2 + c 2 + d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd=a 2 +b 2 +c 2 + d 2 +

Заключение: След свършената работа предложих, че сборът от няколко члена може да бъде повдигнат на квадрат. Намерих потвърждение за това в референтната литература:

(a 1 + a 2 + …+ a p )² = a 1 ² + a 2 ² +…+ 2(a 1 a 2 + a 1 a 3 +…+ a i a j +…+ a n-1 a.)

И така, квадратът на сумата от n членове е равен на сумата от техните квадрати плюс удвоената сума от всички възможни произведения по двойки на тези членове във формата a i a j,

В този пример приложих формулите за разликата на квадратите и квадрата на сумата от два члена.

Отговор: (65 2 -32 2 -97*11): (61 2 -36 2 )+(56 2 -26 2 ): (66 2 -16 2 )=4,48

Решение: за разлика от предишното, товаизразът е наситен с различни

формули. Започвам да го изпълнявам стъпка по стъпка, като не забравям да прилагам

формули за съкратено умножение:

С помощта на FSU е възможно да се опростят алгебрични изрази.

2. Опростете израза:

В този пример, във втората стъпка, приложих формулите за разликата на квадратите и разликата на кубовете на два члена и извърших съкращаване на дроби.

След като приложих асоциативния закон на умножението, първо използвах формулите за разликата и сумата на кубовете, а след това разликата на квадратите на два члена.

3. Опростете и изчислете:

Решение: Прилагам формулите за разликата на квадратите и квадрата на разликата на два члена.

, замествам дадената стойност в получения израз и изчислявам:

Решение: в този случай ще групирам четирите члена и в последната стъпка ще напиша формулата за разликата на квадратите:

, сега изчисленията ще бъдат по-прости:

В тези примери аз не само опростих изразите, използвайки формулите за намалено умножение, но и направих изчисления за всеки случай.

Формулите за съкратено умножение се използват и за решаване на алгебрични уравнения. Тъй като представените по-долу уравнения не се изучават в курса за 7 клас, не бих могъл да ги реша по друг начин.

4. Решете уравнението: а)

Първо ще разложа втория член на сумата от два члена и след това ще приложа метода на групиране.

Ще разширя дясната страна на уравнението според формулата на квадрата на разликата и след това ще извърша действията както в предишния пример.

Първо прилагам формулите за разликата на кубове и квадрати, след това давам подобни членове и пристъпвам към решаването на елементарно уравнение.

Това уравнение се различава от предишните по това, че съдържа две неизвестни, така че решението има еднопроменлива ще бъде изразена чрез друга.

Също така, с помощта на FSU е възможно да се извърши доказателството на идентично равни изрази.

5. Докажете идентичността от Аритметиката на Диофант:

Решение: Превърнах знаменателя на първата и третата дроби в квадрат на разликата на два члена, доведох израза до общ знаменател, след това преместих всичко в лявата страна и донесох подобни членове. В резултат на това лявата страна е идентично равна на дясната страна.

Докато изучавах материала по тази тема, научих много нови и интересни неща. Оказа се, че формулите за съкратено умножение могат да се използват за рационално пресмятане на изрази, за опростяване на изрази, за решаване на уравнения, доказване на тъждества и т.н.

В процеса на работа самостоятелно извеждах различни формули за съкратено умножение и доказах някои от тях по няколко начина, запознах се с триъгълника на Паскал.

Реших много интересни задачи, които не се срещаха в часа по математика. Много харесвам предмета математика, вярвам, че знанията, които придобих, докато подготвях тази работа, ще ми бъдат полезни в по-нататъшното ми обучение и подготовка за зрелостни изпити. Тази тема е уместна, тъй като математиката не може да се представи без съкратени формули за умножение, тъй като те се използват не само в училищния курс, но и в курса на висшата математика. Създадената от мен работа може да се използва от други ученици и учители по математика в техните уроци. Хареса ми да правя проучвания.

1. С. М. Никольски, М. К. Потапов и др., Алгебра 7; М .: "Просвещение", 2008 г.

2. С. М. Никольски, М. К. Потапов и др., Алгебра 10; М .: "Просвещение", 2008 г.

3. В. И. Жохов, Ю. Н. Макаричев и Н. Г. Миндюк. Дидактически материали: алгебра 8 клас; М.:"Просвета", 2003 г.

4. М. К. Потапов, Я. В. Шевкин. Дидактически материали: алгебра и начало на анализ 10 клас; М.: "Просвещение", 2010 г.