Функционален диференциал

Какво е функционален диференциал

Ако е дадена диференцируема функция $y = f(x)$, тогава нейното нарастване

Където $\alpha \to 0$ при $\Delta x\to 0$.

За $\Delta x\to 0$ количеството $\alpha $$\Delta $x е безкрайно малък порядък по-висок от $\Delta $x. От равенството $\Delta $y следва, че нарастването на функция, която има ненулева производна в точката x, може да бъде представено като сбор от два члена. В първия член f`(x), увеличението $\Delta $x е увеличението на първа степен. Именно този член е основната част от нарастването на функцията и се нарича неин диференциал.

Диференциалът на функция е произведението на производната на тази функция и увеличението на независимата променлива.

Диференциалът на функция се означава с dy и има формата:

$dy = f `(x) \Делта x$

Какъв е диференциалът на независима променлива

Диференциалът на независима променлива е нейното увеличение dx = $\Delta $x.

$\Делта $y = dy + $\алфа $$\Делта $x

Вторият член на израза $\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x$ за $\Delta x\to 0$ е безкрайно малка стойност от по-висок порядък. По този начин разликата $\Delta $y -- dy между нарастването на функция и нейния диференциал, равен на $\alpha $$\Delta $х, е безкрайно малка стойност от по-висок порядък от $\Delta $х.

За да изчислите диференциала на функция, трябва да посочите началната стойност на независимата променлива x и нейното увеличение. Ако нарастването е твърде малко и f `(x) не е равно на нула, тогава стойността на $\alpha $$\Delta $x е много по-малка от диференциала на функцията и колкото по-малък е, толкова по-малък е $\Delta $x.

Следователно в някои случаи изчисляването на увеличението на функция се заменя с изчисляването на диференциала на функцията с известно приближение. Диференциалът на функция е по-лесен за изчисляване,защото изисква намиране само на неговата производна, за да се изчисли произведението с независимата променлива:

\[\Делта y\приблизително dy\]

\[\Делта y=f(x+\Делта x)-f(x)\] \[dy=f'(x)\Делта x\]

Увеличената стойност на функцията изглежда така:

\[f(x+\Делта x)-f(x)\приблизително f'(x)\Делта x\]

С помощта на тази приблизителна формула може да се намери приблизителната стойност на функцията в точката x + $\Delta $x, която е близка до x според известната стойност на функцията.

Диференцирането на основните елементарни функции се получава чрез намиране на производната и добавяне на променливата dx към нея.

Опитайте да помолите учителите за помощ.

Определете увеличението и диференциала на функцията y \u003d x2, когато x преминава от стойност 2 към стойност 2,03.

1. Нека определим увеличението на дадената функция за произволни стойности на x и $\Delta $x. \[dy=y'dx=2xdx\] \[\Delta y=(x+\Delta x)^ -x^ =x^ +2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^ -x^ =2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^ \]
2. Намерете нарастването на аргумента. \[\Делта x=2,03-2=0,03\]
3. Заместете числовите стойности в равенството на нарастване на функцията \[\Delta y=2\cdot 2\cdot 0.03+\left(0.03\right)^ =0.12+0.0009\]

Покажете, че за $\Delta x\to 0$, до безкрайно малък по-висок порядък, имаме приблизителното равенство

\[(1+\Делта x)^ \приблизително 1+n\Делта x\]

Да разгледаме функцията $f(x) = x^n$. Тогава

\[\Делта y=(x+\Делта x)^ -x^ \] \[dy=nx^ \Делта x\]

Тъй като $\Delta y\approx dy$, тогава:

\[(x+\Делта x)^ -x^ \приблизително nx^ \Делта x\] \[(x+\Делта x)^ \приблизително x^ +nx^ \Делта x\]

Ако приемем, че x = 1, за достатъчно малки нараствания имаме приблизителното равенство

\[(1+\Делта x)^ \приблизително 1+n\Делта x\]

Задайте въпрос на експерти и получете отговор за 15 минути!

Формулата, получена в пример 2, се използва широко за приблизителни изчисления.

\[(1+\Делта x)^ \приблизително 1+n\Делта x\]

Приблизително изчислете $(1,02)^3$

Където $\Делта x = 0,03, n = 5$

\[(1,02)^ \приблизително 1+0,02\cdot 3\]

Където $\Delta $x = 0,03, n = 5

\[(1,02)^ \приблизително 1,06\] Приблизително $\sqrt $

Където $ \ Delta x \u003d 0,005, n = 0,5 $

\[\sqrt \приблизително 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt \приблизително 1,0025\]

При нагряване обемът на твърдото вещество се увеличава пропорционално на куба на неговото линейно разширение. Ако $\alpha $ е коефициентът на обемно разширение и t е температурата, тогава формулата

\[\бета \приблизително 3\алфа \]

За малки $\alpha $

\[(1+\alpha t)^ \приблизително 1+3\alpha t\]

Така че $1+\beta t=1+3\alpha t$ и $\beta \приблизително 3\alpha $

Не сте намерили отговора на вашия въпрос?

Просто напишете за какво имате нужда от помощ

---