Какво е алгебра, математически изследвания
Алгебрата е част от математиката, която изучава общите свойства на действията върху различни величини и решението на уравнения, свързани с тези действия.
Още по-сложни проблеми бяха в състояние да решат от началото на II хилядолетие пр.н.е. д. в древен Вавилон: в математическите текстове, направени с клинопис върху глинени плочи, има квадратни и биквадратни уравнения, системи от уравнения с две неизвестни и дори най-простите кубични уравнения. В същото време вавилонците също не са използвали букви, а са давали решения на „типични“ проблеми, от които са получени решения на подобни проблеми чрез замяна на числови данни. Някои правила за тъждествени трансформации също бяха дадени в числена форма. Ако при решаването на уравнението беше необходимо да се извлече квадратният корен от числото i, което не е точен квадрат, те намериха приблизителната стойност на корена x: разделиха a на x и взеха средното аритметично от числата x и a / x.
Първите общи твърдения за идентични трансформации се срещат сред древногръцките математици, започвайки от 6 век. пр.н.е. Сред математиците на древна Гърция е било обичайно да изразяват всички алгебрични твърдения в геометрична форма. Вместо да добавят числа, те говореха за добавяне на сегменти, произведението на две числа се тълкува като площ на правоъгълник, а произведението на три числа се тълкува като обем на правоъгълен паралелепипед. Алгебричните формули са под формата на съотношения между площи и обеми. Например те казаха, че площта на квадрат, изграден върху сумата от два сегмента, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху тези сегменти, увеличена с два пъти площта на правоъгълника, изграден върху тези сегменти. Геометричната форма е възприета от гърците и решениетоквадратни уравнения - търсеха страните на правоъгълник по даден периметър и не успяха.
Повечето задачи са решавани в Древна Гърция чрез изграждане с пергел и линийка. Но не всички задачи се поддадоха на такова решение. Например проблемите с удвояване на куб, трисекция на ъгъл и проблемът с конструирането на правилен седмоъгълник са „нерешени“ (виж Класическите проблеми на древността). Те доведоха до кубични уравнения във формата xJ = 2. 4x3 - 3x = a и x3 + -fx2 - 2x - 1 = 0, съответно. За решаването на тези проблеми е разработен нов метод, свързан с намирането на пресечните точки на конични сечения (елипса, парабола и хипербола).
Геометричният подход към алгебричните проблеми възпрепятства по-нататъшното развитие на науката, тъй като например беше невъзможно да се добавят количества с различни измерения (дължини и площи или площи и обеми), беше невъзможно да се говори за произведение на повече от три фактора и т.н. Отхвърлянето на геометричната интерпретация е очертано от Диофант от Александрия, живял през 3 век. В книгата му Аритметика се появяват наченки на азбучна символика и специални обозначения за степените на неизвестното до 6-та. Той също имаше означения за степени с отрицателни показатели, означения за отрицателни числа, както и знак за равенство (все още нямаше специален знак за събиране), кратък запис на правилата за умножение на положителни и отрицателни числа. По-нататъшното развитие на алгебрата беше силно повлияно от проблемите, анализирани от Диофант, които водят до сложни системи от алгебрични уравнения, включително системи, където броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните. За такива уравнения Диофант търси само положителни рационални решения,
От 6 век центърътна математическите изследваниясе премества в Индия и Китай, страните от Близкия изток и Централна Азия. Китайски учени са разработилиметодът за последователно елиминиране на неизвестни за решаване на системи от линейни уравнения, даде нови методи за приблизително решаване на уравнения от по-високи степени. Индийските математици използвали отрицателни числа и подобрили азбучната символика. Въпреки това, само в трудовете на учени от Близкия изток и Централна Азия алгебрата се оформя като независим клон на математиката, тълкувайки въпроси, свързани с решаването на уравнения. През IX век Узбекският математик и астроном Мохамед ад-Хорезми написа трактат „Китаб ал-джабр вал-мукабала“, където даде общи правила за решаване на уравнения от първа степен. Думата "ал-джабр" (възстановяване), от която получи името си новата наука алгебра, означава прехвърляне на отрицателните членове на уравнението от една негова част в друга с промяна на знака. Учените от Изтока също са изследвали решението на кубични уравнения, въпреки че не са успели да получат обща формула за техните корени.
В Западна Европа изучаването на алгебрата започва през тринадесети век. Един от великите математици от онова време е италианецът Леонардо от Пиза (Фибоначи) (ок. 1170-след 1228 г.). Неговата „Книга на абака“ (1202) е трактат, който съдържа информация за аритметика и алгебра до и включително квадратни уравнения (виж числата на Фибоначи). Първото голямо независимо постижение на западноевропейските учени е откритието през 16 век. формули за решаване на кубично уравнение. Това е заслуга на италианските алгебраисти С. дел Феро, Н. Тарталия и Г. Кардано. Ученикът на последния, Л. Ферари, също решава уравнението от 4-та степен (виж Алгебричното уравнение). Изследването на някои въпроси, свързани с корените на кубичните уравнения, доведе италианския алгебрист Р. Бомбели до откриването на комплексните числа.
Липсата на удобна и добре развита символика възпрепятства по-нататъшното развитие на алгебрата; най-сложните формули трябваше да бъдат посочени всловесна форма. В края на XVI век. френският математик Ф. Виета въвежда буквени обозначения не само за неизвестни, но и за произволни константи.Символиката на Виета е подобрена от много учени. Окончателния си вид получава в началото на 17 век. Френският философ и математик Р. Декарт, който използва нотацията за показатели (използва се и днес).
Запасът от числа, с които е възможно да се извършват действия, постепенно се разширява. Отрицателните числа спечелиха граждански права, след това комплексните числа, учените започнаха свободно да използват ирационални числа (виж Число). В същото време се оказа, че въпреки такова разширяване на запаса от числа, неустановените правила на алгебричните трансформации запазват своята сила.Накрая Декарт успява да освободи алгебрата от нейната нехарактерна геометрична форма.
Всичко това направи възможно разглеждането на проблемите за решаване на уравнения в най-обща форма, прилагането на уравнения към решаването на геометрични проблеми. Например, проблемът за намиране на пресечната точка на две прави се свежда до решаване на система от уравнения, която удовлетворява точките на тези линии. Този метод за решаване на геометрични задачи се нарича аналитична геометрия.
Развитието на буквената символика направи възможно установяването на общи твърдения относно алгебричните уравнения: теоремата на Безу за делимостта на полинома P(x) от бинома x - a, където a е коренът на този полином; Вистови връзки между корените на уравнението и неговите коефициенти; правила, които позволяват да се оцени броят на реалните корени на уравнение, общи методи за елиминиране на неизвестни от системи от уравнения и др.
Особено напреднал е през 18 век. решение на системи от линейни уравнения - за тях са получени формули, които позволяват изразяване на решения чрез коефициенти и свободни членове. Допълнително проучен! такива системиуравнения доведоха до създаването на теорията на матриците и детерминантите. В края на XVIIIв. беше доказано, че всяко алгебрично уравнение с комплексни коефициенти има поне един комплексен корен.Това твърдение се нарича основна теорема на алгебрата.
В продължение на два века и половина вниманието на алгебристите е приковано към проблема за извеждане на формула за решаване на общо уравнение от степен 5. Беше необходимо да се изразят корените на това уравнение] по отношение на неговите коефициенти, като се използват аритметични операции и извличане на корени (за решаване на уравнението в радикали). Едва в началото на XIX век. италианецът П. Руфини и норвежецът Н. Абел независимо доказаха, че такава формула не съществува. Един от най-големите математици К. Гаус откри при какви условия е възможно да се построи правилен n-ъгълник с компас и линийка: въпросът се оказа свързан с изследването на корените на уравнението x" = 1. Оказа се, че този проблем е разрешим само ако числото n е просто число на Ферма или продукт на няколко различни прости числа на Ферма (простите числа на Ферма се наричат прости числа, представими като + 1; известни са само пет такива числа, така че far 3, 5, 17, 257 65 537) Така младият студент (по това време Гаус е едва на 19 години) решава проблем, с който учените са се занимавали безуспешно повече от две хилядолетия.
В началото на XIXв. бяха решени основните задачи, стоящи пред алгебрата през първото хилядолетие от нейното развитие. Той получи независима обосновка, която не се основава на геометрични концепции, и освен това алгебричните методи започнаха да се използват за решаване на геометрични проблеми. Разработени са правилата на буквалното смятане за рационални и ирационални изрази, изяснен е въпросът за разрешимостта на уравненията в радикали и е изградена строга теория на комплексните числа. повърхностенНа наблюдател може да изглежда, че сега математиците ще решават все повече и повече нови класове алгебрични уравнения, ще доказват нови алгебрични идентичности и т.н. Развитието на алгебрата обаче пое по различен път: от науката за буквалното смятане и уравненията тя се превърна в обща наука за операциите и техните свойства.
С операции, чиито свойства само отчасти наподобяват тези на аритметичните операции, математиците от 19в. изправен пред други проблеми. През 1858 г. английският математик А. Кейли въвежда общата операция на умножението на матрицата и изучава нейните свойства. Оказа се, че много от изучаваните по-рано операции също могат да бъдат сведени до умножение на матрици. Английският логик Дж. Бул в средата на 19 век. започва да изучава операциите върху твърдения, които позволяват да се конструира трето от две дадени твърдения, а в края на 19в. Немският математик Г. Кантор въвежда операции върху множества: обединение, пресичане и др. Оказа се, че както операциите върху предложенията, така и операциите върху множествата имат свойствата комутативност (преместване), асоциативност (комбинативност) и дистрибутивност (дистрибутивност), но някои от свойствата им не са подобни на тези на операциите върху числа.
Така през XIX век. в математиката възникват различни видове алгебри: обикновени числа, комплексни числа, кватерниони, матрици, предложения, множества и др. Всеки от тях имаше свои собствени правила, свои собствени идентичности, свои собствени методи за решаване на уравнения. В същото време за някои видове алгебри правилата бяха много сходни. Например, правилата на алгебрата на рационалните числа не се различават от правилата на алгебрата на реалните числа. Ето защо формулите, установени в VI клас за рационалните стойности на буквите, се оказват верни за всякакви реални (и дори всякакви сложни) стойности на същите букви. Правилата бяха същитев алгебрата на предложенията и в алгебрата на множествата. Всичко това доведе до създаването на абстрактното понятие композиция, т.е. операция, която присвоява една трета на всяка двойка (o, b) елементи от някакво множество X.
Изследването на свойствата на различни видове композиции доведе до идеята, че основната задача на алгебрата е изучаването на свойствата на операциите, разглеждани независимо от обектите, към които се прилагат. С други думи, алгебрата започва да се разглежда като обща наука за свойствата на законите на състава, свойствата на операциите. В същото време два набора, във всеки от които са дадени композиции, започнаха да се считат за идентични от гледна точка на алгебрата (или, както се казва, „изоморфни“), ако между тези набори може да се установи еднозначно съответствие, превеждайки един закон за композиция в друг. Ако две множества със състави са изоморфни, тогава като изучаваме едното от тях, научаваме алгебричните свойства на другото.
Тъй като съвкупността от различни множества с дадените в тях закони на композиция е безгранична, бяха разграничени видове такива множества, които, макар и да не са изоморфни помежду си, имат общи свойства на композиция. Например, след като са проучили свойствата на операциите събиране и умножение в множества от рационални, реални и комплексни числа, математиците са създали общата концепция за набор от полета, където тези две операции са дефинирани и техните обичайни свойства са изпълнени. Изследването на операцията за умножение на матрици доведе до идентифицирането на концепцията за група, която сега е една от най-важните не само в алгебрата, но и в цялата математика.
Днес алгебрата е една от най-важните части на математиката, която намира приложение както в чисто теоретични клонове на науката, така и в много практически въпроси.
Така възниква геометричнатаалгебра. Геометричнатаалгебрае приложима не само към съизмерими,но и на несъизмерими сегменти и въпреки това е точна наука.
Мощна математика. Основи наалгебрата. Смята се, че елините са заимствали първата информация заалгебратаот вавилонците.
. издател и писател Александър Иванович Херцен (1812-1870), който казва това за философията на Хегел (част 4, гл. 25): „Философията на Хегел еалгебрана революцията.
Дмитрий Самин. Мощна математика. Основна теоремаот алгебрата. „Основната теоремана алгебратапод формата на твърдение: едно алгебрично уравнение има толкова много корени.