Картанова матрица
В математиката терминътКартанова матрицаима три значения. Всички те са кръстени на френския математик Ели Картан. Всъщност матриците на Картан в контекста на алгебрите на Лие са изследвани за първи път от Вилхелм Килинг, докато формата на Килинг принадлежи на Картан.
Съдържание
Обобщената матрица на Картане квадратна матрица A = ( a i j ) )> с цели елементи, като че
Например, матрицата на Картан заG2 може да бъде разложена както следва:
Третото условие не е независимо и е следствие от първото и четвъртото условие.
Винаги можем да изберемDс положителни диагонални елементи. В този случай, акоSв разлагането е положително определено, тогаваAсе казва, че еКартанова матрица.
Матрицата на Картан на проста алгебра на Лие е матрица, чиито елементи са скаларни произведения
(понякога наричаниЦели числа на Картан), къдетоriе кореновата система на алгебрата. Елементите са цели числа поради едно от свойствата на кореновата система. Първото условие следва от дефиницията, второто от факта, че за i ≠ j, r j − 2 ( r i, r j ) ( r i, r i ) r i -,r_) \over (r_,r_)>r_> е корен, който е линейна комбинация от прости корениriиrjс положителен коефициент заrjи тогава коефициентът заriтрябва да е неотрицателен. Третото условие е вярно поради симетрията на отношението на ортогоналност. И накрая, нека D i j = δ i j ( r i , r i ) = \over (r_,r_)>> и S i j = 2 (r i, r j) =2(r_,r_)> . Тъй като простите корени са линейно независими,Sе тяхната матрица на Грам (с коефициент 2) и следователно е положително определена.
И обратно,дадена обобщена картанова матрица, може да се намери съответната алгебра на Ли (вижте подробности в статията Kac-Moody Algebra [en] ).
Класификация
НекаAе неразложима обобщена картанова матрица. Казваме, чеAе откраен тип, ако всички негови главни минори са положителни, чеAе отафинен тип, ако всички негови собствени главни минори са положителни и детерминантата наAе 0, и чеAе отнеопределентип в противен случай.
Неразложимите матрици от краен тип класифицират крайномерни прости групи на Ли (от тип A n, B n, C n, D n, E 6, E 7, E 8, F 4, G 2, B_,C_,D_,E_,E_,E_,F_,G_>), докато неразложимите матрици от афин тип класифицират affi ne Алгебри на Лие [en ] (над някои алгебрично затворени полета с характеристика 0).
Детерминанти на Картанови матрици на прости алгебри на Ли
Детерминантите на картановите матрици на прости алгебри на Лие са дадени в таблицата.
Друго свойство на този детерминант е, че той е равен на индекса на асоциираната коренова система, тоест е равен на P / Q, където P, Q означават тегловната решетка [en] и съответно кореновата решетка.
В теорията на модулните представяния [en] и в по-общата теория на представянията на крайномерни асоциативни алгебрикоито не саполупрости [en],Картановата матрицасе дефинира чрез разглеждане на (краен) набор от главни неразложими модули [en] и записване на композиционни серии [en] за тях по отношение на прости модули, получаване на матрица от inte gers, съдържащи броя на срещанията на прост модул.
В М-теорията може да се представи геометрията като граница на два цикъла, които се пресичат един друг в краен брой точки, тъй като площта на двата цикъла клони към нула. В лимита, група местнисиметрия. Матрицата на индексите на пресичане на базиса с два цикъла е, хипотетично, матрицата на Картан на алгебрата на Ли на тази локална група на симетрия [1] .
Това може да се обясни по следния начин: в М-теорията има солитони, които са двумерни повърхности, нареченимембраниили2-брани. 2-браните имат напрежение и следователно са склонни да се свиват, но те могат да бъдат увити около два цикъла, за да се предотврати свиването на мембраните до нула.
Възможно е да се компактифицира [en] на едно измерение, което съдържа всички два цикъла и техните пресечни точки, и да се вземе границата, при която измерението се свива до нула, като по този начин се получава намаление на [en] в това измерение. След това получаваме теория на струните от тип IIA като граница на М-теорията с опаковащи 2-брани с два цикъла, сега представени като отворени струни, обхващащи D-брани. Има локална група на симетрия U(1) за всяка D-брана, подобно на степените на свобода на движение без преориентация. Границата, при която два цикъла имат площ нула, е границата, при която тези D-брани са една върху друга.
Отворена струна, опъната между две D-брани, представлява генератор на алгебра на Лие, а комутаторът на два такива генератора е третият генератор, представен от отворена струна, която може да се получи чрез слепване на ръбовете на двете отворени струни. По-нататъшните връзки между различни отворени струни зависят от начина, по който 2-браните могат да се пресичат в оригиналната М-теория, тоест от броя на пресичанията на два цикъла. Така алгебрата на Лие зависи изцяло от тези пресечни числа. Връзката с матрицата на Картан е предложена, тъй като тя описва комутаторите на прости корени, които са свързани с двуциклите в избраната база.
Обърнете внимание, че генераторите в подалгебрата на Картан [en]са представени от отворени низове, които са обхванати между D-брана и същата брана.