Концепцията за случайна променлива
Глава 1 разглежда случайни събития и правилата за определяне на техните вероятности. Наред със случайните събития в теорията на вероятностите се въвежда едно много важно понятиеза случайна променливаНека дадем примери, които обясняват понятието за случайна променлива.
Пример 1.Броят на момчетата, родени сред пет новородени, е случайна променлива, която може да приема стойности 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Пример 2.Степента на отклонение на точката на попадение на снаряда от целта се определя от голям брой различни фактори със случаен характер. Поради това в теорията на стрелбата се отчита явлението разсейване на снарядите в близост до целта и посочените отклонения се разглеждат като случайни величини.
Пример 3.Скоростта на газовите молекули не остава непроменена, а се променя в зависимост от сблъсъци с други молекули. Има много такива сблъсъци дори за кратък период от време. Експериментите показват, че при известна скорост на една молекула в даден момент е невъзможно да се посочи нейната стойност с пълна сигурност, например след 0,01 или 0,001 секунди. Следователно промяната в скоростите на газовите молекули е случайна.
Дадените примери показват, че човек трябва да работи със случайни променливи в голямо разнообразие от области на науката и технологиите. Във всеки от горните примери имаме работа с количества, които характеризират изследваното явление. Всяко от тези количества на случаен принцип приема различни стойности, т.е. невъзможно е да се каже предварително каква стойност ще приеме стойността, тъй като тя се променя произволно от тест на тест.
Дефиниция 1.Случайна променлива е променлива, коятокойто в резултат на тестване(експеримент)в зависимост от случая приема една от съвкупността от възможните си стойности, като не е известно предварително коя.
В противен случай случайна променлива е определена числова функция, която е дефинирана в пространството на елементарни събития Ω. Тази функция свързва всяко елементарно събитие ω с определено число. Следователно, по-точна дефиниция на случайна променлива се формулира, както следва:
Дефиниция 2.Случайна променлива X е функция, дефинирана върху множеството от елементарни резултати (или пространството от елементарни събития), т.е. Х =f(ω), където ω е елементарен резултат (или елементарно събитие, принадлежащо на пространствотоΩ,т.е.ωн Ω).
Случайните променливи ще бъдат обозначени с главни латински буквиХ,Y,Z,…, а възможните им стойности със съответните малки буквиx,y, z,… .
Има два вида случайни променливи -дискретни и непрекъснати. Дискретна променлива приема краен или изброим набор от стойности, докато непрекъснатата случайна променлива е неизброим набор. По този начин дискретна случайна променлива приема отделни стойности, изолирани една от друга, а непрекъсната случайна променлива може да приема всяка стойност от определен интервал.
Случайната променлива от Пример 1 е дискретна, докато случайните променливи от Примери 2 и 3 са непрекъснати.
Случайните променливи могат да се събират, изваждат и умножават.
Сумата (разликата, произведението) на случайните величиниХиYе случайна величинаZ=X+Y(Z=X–Y,Z=X Y), чиито възможни стойности се състоят от сумите (разлики, произведения) на всяка възможна стойностXи всяка възможна стойностY.
Пример 4.Намерете сумата отXиY, акоXприема стойностите 1,2,3 иY: 1,2,3,4.
Решение. Възможните стойности на суматаZ=X+Yще бъдат следнитеZ: 2,3,4,5,6,7.
Пример 5.Намерете продуктаXYпри дадени стойностиXиY, дадени в пример 4.
Решение.XY: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12.
Най-пълното описание на случайна променлива е нейният закон на разпределение.
Дефиниция 3.Законът за разпределение на случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и вероятностите, съответстващи на тези стойности.
За дискретна случайна променлива законът за разпределение може да бъде даден под формата на таблица, под формата на формула и графично. Най-простият и най-разпространеният начин за задаване на закона за разпределение на дискретна случайна променливаXе таблицата (Таблица 3.1):