Критерий за компактност в n-мерното пространство (теорема на Хайне–Борел) - Primat

Теорема на Хайне-Борел. За да бъде едно множество компактно, е необходимо и достатъчно то да бъде ограничено и затворено.

Доказателство. Достатъчност . Нека бъде затворено и ограничено. След това има сегмент, съдържащ . По силата на лемата на Хайне-Борел този сегмент е компактен. Следователно, поради свойствата на компактните множества, неговото затворено подмножество също е компактно.Необходимо. Нека бъде компактен. Нека докажем, че това множество е ограничено. Означаваме с отворена топка с център в точка с радиус . Тогава последователността от топки обхваща цялото пространство, а оттам и комплекта. Следователно, тъй като е компактен, той може да бъде покрит от краен набор от топки. Измежду всички тези топки избираме топката с най-голям радиус. Нека да е топка. Тогава е ясно, че , така че е ограничен. Нека сега покажем, че множеството е затворено. За да направите това, достатъчно е да се покаже, че всяка точка , няма да бъде гранична точка за . Така че нека. Нека разгледаме наборите. Тъй като затворената топка е затворено множество, следователно нейното допълнение е отворено. Освен това е ясно, че. Тъй като , тогава колекцията от комплекти формира отворен капак на комплекта . Използвайки компактността на , избираме ограничено под покритие от това покритие и поставяме 0" title="\rho = \frac> > 0" />. От това следва, че топката няма общи точки с множеството . Получаваме, че точката няма да бъде ограничаваща за .

---