Критерий за оптималност при избор на план за експеримент - Studiopedia
Лекция 11
Една от основните задачи на теорията за планиране на експеримента е да се избере такъв план на експеримента, който да осигури най-добрите в известен смисъл изследователски резултати. В същото време оптималността на плана се определя от задачата, стояща пред експеримента, вида на модела, цената на отделните експерименти, областта на планиране на експеримента и др.
Най-важната характеристика на плана, която влияе както върху цената и продължителността на изследването, така и върху точността на получените резултати, е броят на наблюденията. Според броя на експериментите плановете са наситени, ненаситени и пренаситени. Планът се нарича наситен, ако броят на експериментите е равен на броя на определените параметри на модела (N=k+1 за линеен модел). Подобен план обаче не позволява да се определи адекватността на модела. Ако N е по-голямо от броя на параметрите, които трябва да бъдат определени, тогава планът е ненаситен. В някои задачи (например при идентифициране на значими фактори от общия набор [1]) се използват свръхнаситени планове, в които броят на експериментите N е по-малък от броя на параметрите на модела (разкрива се само част от значимите параметри).
Сред критериите за оптималност, използвани при планирането на експеримента, могат да се разграничат две групи.
Първата група включва критерии, свързани с точността на оценките на регресионните коефициенти, втората - с грешка в оценката на зависимата променлива y.
Критериите за първата група са:
- D-критерий за оптималност. Той осигурява минималния обем на елипсоида на разсейване на оценките на регресионното уравнение, което изисква такова разположение на точките на плана в областта, при което детерминантата на дисперсионната матрица би била минимална (или, което е същото, );
- А-критерий за оптималност.Съответства на планове с минимална средна вариация на оценките на коефициента (минималната сума от квадратите на главните полуоси на дисперсионния елипсоид), което съответства на най-малката стойност на следата на дисперсионната матрица (сумата от елементите на главния диагонал,
Критериите на втората група, свързани с грешката в оценката на повърхността на реакция, включват:
- G-критерий за оптималност. На него отговаря план, който осигурява най-малката стойност на максималната вариация на отговора в цялата област на планиране в сравнение с други планове. Постигането на възможно най-висока точност на модела е свързано, като правило, с най-доброто използване на зоната за планиране по време на експеримента;
- критерий за ротативност (ротабилността е инвариантността на ковариационната матрица по отношение на ортогоналното въртене (въртене) на координатната система). Ротативността на плана ви позволява да получите същата вариация на прогнозираните стойности на функцията за отговор във всички точки, еднакво отдалечени от центъра на плана, независимо от посоката.
Освен разгледаните се използват и други критерии [1,2].
Трябва да се отбележи, че свойствата на плана са свързани с вида на анализирания модел. При промяна на изгледа на модела свойствата на същия план могат да се променят (вижте примера).
На практика истинската форма на модела често не е известна предварително. Следователно експериментът първоначално е планиран въз основа на предположението, че моделът е линеен по отношение на независими променливи. След провеждане на експерименти и конструиране на такъв модел се проверява неговата адекватност. Ако моделът е неадекватен, преминете към изграждането на модел от по-висок порядък. В същото време, когато се изгражда план за модел от по-висок ред, препоръчително е да се използват точките, в които вече е извършен експериментът.
Планове, които предоставят възможностизползване на точките, използвани за конструиране на полином от степен d. като подмножество от точките, необходими за оптималния план за формиране на полином от степен (d + 1), се наричат композиционни планове на ред (d + 1). И така, плановете за квадратични модели, изградени чрез добавяне на точки към плана за линеен модел, се наричат композиционни планове от 2-ри ред. Тази конструкция на планове, използвайки резултатите от предишни наблюдения, намалява общия брой експерименти и съответства на последователна стратегия за планиране на експерименти.
Изборът на критерия за оптималност на плана се извършва въз основа на конкретното съдържание на проблема, който се решава. Често е полезно да се стремим да гарантираме, че един и същ план отговаря на няколко критерия (например, за линеен модел от формата Y=B X, ортогонален план може едновременно да се върти).
Въпреки това, често е целесъобразно да се изоставят някои свойства, за да се постигнат други (от ортогоналност в полза на D-оптималност) или за да може да се провери адекватността на модела и т.н. Тъй като моделите на линейна регресия най-често се използват на първия етап от изследването, ще започнем да разглеждаме въпросите за избора на план за експеримент от планове, предназначени за изграждане на уравнения на линейна регресия.
Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката: