Лекция 11 Хипербола

Зинаида Булушева преди 1 години Преглеждания:

1 Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика

2 Уводни бележки В тази лекция изучаваме още една крива от втори ред, хиперболата. В училищен курс по математика хиперболата е графика на функция y = 1 (или в малко по-сложна версия y = k, където k 0). Както x x ще научим в края на тази лекция, това уравнение дефинира хипербола, но не всяка хипербола може да бъде дефинирана от такова уравнение. В систематичен курс по математика хиперболата е крива, дефинирана от уравнение от друг вид (вижте следващия слайд). Нека също да отбележим, че по съдържание тази лекция е в много отношения подобна на предишната, но има и забележими разлики.

3 Дефиниция на хипербола Дефиниция Хипербола е набор от всички точки в равнина, чиито координати в подходяща координатна система удовлетворяват уравнение от вида x 2 a y2 = 1, (1) 2 b2 където a,b > 0. Това уравнение се нарича канонично уравнение на хиперболата.

4 Върхове, фокуси, фокални радиуси, ексцентриситети и директриси на хипербола Нека въведем редица понятия, които играят важна роля при изучаването на хипербола. Нека хиперболата е дадена от уравнение (1). Нека c = a 2 + b 2. Ясно е, че c>gt; а. Дефиниции Точките с координати (a,0), (a,0), (b,0) и (b,0) се наричат върхове на хиперболата, стойността a е реалната полуос на хиперболата, а стойността b е нейната въображаема полуос. Точките F 1(c, 0) и F 2( c, 0) се наричат фокуси на хиперболата, а фокусът F 1 се нарича десен фокус, а фокусът F 2 - ляв. Ако точката M принадлежи на хипербола, тогава разстоянията F 1M и F 2M се наричат фокални радиуси. Стойността e = c се нарича ексцентричност на хиперболата. Прави с уравнения x = a и x = aсе наричат директриси на хиперболата. e e "Физическият смисъл" на въведените сега понятия ще стане ясен по-късно, след като изучим формата на хиперболата. Засега отбелязваме само, че следният факт следва пряко от определението за ексцентричност: за всяка хипербола неравенството e > 1.

5 Разположение на хиперболата в равнината (1) Нека да проучим "външния вид" на хиперболата. Да приемем, че точката M(x,y) удовлетворява уравнение (1). Както в случая на елипса, лесно е да се провери, че хиперболата е симетрична спрямо двете координатни оси. Следователно е достатъчно да се изследва формата на хиперболата само през първата четвърт. Това ни позволява допълнително да приемем, че x 0 и y 0. Тогава, по силата на (1), y = b a x 2 a 2. (2) Да разгледаме права линия с уравнението y = b x, по-точно лъч от тази права линия, a разположен в първия квадрант. Ясно е, че b x > x b a a 2 a 2. Това означава, че хиперболата се намира под линията. Освен това ( b lim x + a x b x ) b a 2 a 2 = lim (x x x + a 2 a 2) = ( b x = lim x + a x2 a 2)( x + x 2 a 2) x + = x 2 a 2 ab = lim x + x + x 2 a = 0. хипербола.

6 Разположение на хиперболата върху равнината (2) Лесно се вижда, че в първата четвъртина няма точки от хиперболата, за които x 0 и y 0. Следователно в първата четвърт хиперболата нараства и е вдлъбната (т.е. изпъкнала нагоре). Освен това от (2) лесно следва, че в първата четвърт хиперболата пресича абсцисната ос в точка (a,0), но не пресича ординатната ос. Като вземем предвид симетрията спрямо координатните оси и факта, че правата линия y = b a x е асимптота, получаваме кривата, показана на фиг. 1 (вижте следващия слайд).

7 Местоположение на хиперболата върху равнината (фигура) y = b a x y b r 2inc M r 1inc a a F 2( c,0) O F 1(c,0) x b y = b a x x =a e x = a e 1

9 Изчисляване на фокусни радиуси (1) Основната цел на тази лекция е да докаже две теореми, характеризиращи хипербола като геометрично място на точки с определени свойства. За това се нуждаем от следния спомагателен факт. Лема 1 Ако точката M(x,y) принадлежи на хиперболата, дадена от уравнение (1), тогава r 1inc = ex a, r 2inc = ex + a, r 1left = ex + a, r2left = ex a. Доказателство. Ако точката M(x, y) принадлежи на хиперболата, тогава y 2 b 2 = x2 a 2 1, y 2 = b2 a 2 x2 b 2. (3) Да предположим, че точката M лежи на десния клон на хиперболата.

10 Изчисляване на фокални радиуси (2) Използвайки (3), получаваме, че равенствата са изпълнени Като се има предвид, че r 1pr = F 1M = (x c) 2 + y 2 = = x 2 2cx + c 2 + b2 a 2 x2 b 2 = ( ) = 1+ b2 x a 2 2cx + c 2 b 2. 2 имаме 1+ b2 a = a2 + b 2 = c2 2 a 2 a = 2 e2, c = ea и c 2 b 2 = a 2, r 1pr = e 2 x 2 2eax + a 2 = (ex a) 2 = ex a. Тъй като x a и e > 1, тогава ex a = ex a и следователно r 1pr = ex a. Останалите равенства във формулировката на лемата се проверяват по същия начин.

11 Първата характеристика на хиперболата (1) Следващата теорема дава характеристика на хиперболата, която често се приема като нейна дефиниция. Теорема 1 Точка M принадлежи на хиперболата, дадена от уравнение (1), ако и само ако модулът на разликата между разстоянията от M до фокусите е 2a. Доказателство. Необходимост. По силата на лема 1 имаме r 1inc r 2inc = r 1left r 2left = 2a. Адекватност. Нека M(x, y) е точка в равнината, за която е валидно равенството F 1M F 2M = 2a. Тогава (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 2a, или (x c) 2 + y 2 = ±2a+ (x + c) 2 + y 2.

12 Първата характеристика на хиперболата (2) Поставяйки на квадрат двете страни на последното равенство, получаваме x 2 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a (x + c) 2 + y 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2. След очевидни трансформации имаме ±a (x+ c) 2 + y 2 = a 2 + cx. Още веднъж повдигаме на квадрат полученото равенство. Получаваме a 2 (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 или (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ). Тъй като a 2 c 2 \u003d b 2, последното равенство може да бъде пренаписано като b 2 x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 b 2. Разделяйки това равенство на a 2 b 2, получаваме уравнение (1).

13 Втората характеристика и оптичното свойство на хиперболата Следващата теорема дава още една характеристика на хиперболата. Теорема 2 Точка M принадлежи на хипербола тогава и само ако отношението на разстоянието от M до фокуса към разстоянието от M до директрисата, съответстваща на този фокус, е равно на ексцентрицитета на хиперболата. Хиперболата има следното оптично свойство: Теорема 3 Светлината от източник, разположен в един от фокусите на хиперболата, се отразява от второто разклонение на хиперболата по такъв начин, че продълженията на отразените лъчи се пресичат във втория фокус. Ние не даваме доказателства на тези две теореми, тъй като те са доста подобни на доказателствата на теореми 2 и 3 от Лекция 10.

14 „Училищна“ хипербола (1) Както вече отбелязахме в началото на лекцията, в училищен курс по математика хиперболата е графика на функция y = k, където k 0. Естествено, x повдига въпроса как „училищната“ хипербола корелира с хиперболата, въведена в тази лекция. Отговаряйки на този въпрос, можем да се ограничим до случая, когато k > 0 (ако k 15 "Училищна" хипербола (2) Това означава, че в координатната система Ox y "училищната" хипербола се определя от уравнението (x) 2 (y) 2 = 1. Тъй като k> 0, тогава 2k = a 2 за 2k 2k някои a> 0. Следователно, последното уравнение може да бъде пренаписано във формата a = b. a 2 a 2 Определение A хипербола, дадена от уравнение от вида (1), в което се нарича a = bПо този начин "училищната" хипербола е специален случай на хипербола, определена от уравнение (1), а именно равностранна хипербола. Тази хипербола има канонично уравнение в координатната система, което се получава чрез завъртане под ъгъл от 45° на координатната система, в която има уравнение във формата y = k за k> gt; 0. x Горното разсъждение е илюстрирано на фиг. 2 на следващия слайд.

16 Хипербола „Училище“ (рисунка) y y O 2 x x