Метод на проекцията
1.1. централна проекция
Централната проекция е най-често срещаният случай за получаване на проекции на геометрични форми.
Изграждането на всяко изображение се основава на проекционната операция, която се състои в следното: в пространството се избира произволна точка S, център на проекцията, а равнина, която не минава през точката S, е проекционната равнина (фиг. 1).
A, A S, A, B точки в пространството S проекционен център SA), SB) проектиращи лъчи A 1; B 1 - проекции на точки A и B
За да се проектира точка А от пространството върху равнина, се начертава права линия през проекционния център S и точка А, докато се пресече с проекционната равнина (фиг. 1).
Проекцията на фигура е съвкупността от проекциите на всички нейни точки.
Проекцията на криволинейна фигура е пресечната линия на проектиращата повърхност и проекционната равнина (фиг. 2).
Свойства на централната проекция:
Тъй като една и само една права линия може да бъде начертана през две различни точки, тогава за даден проекционен център и проекционна равнина всяка точка в пространството ще има една и само една централна проекция.
Обратното твърдение, всяка централна проекция на точка еднозначно съответства на точка в пространството, няма смисъл. Следователно една централна проекция на точка не дава възможност да се прецени позицията на самата точка в пространството. За да може да се определи положението на дадена точка в пространството чрез нейните централни проекции, е необходимо да има две централни проекции на тази точка, получени от два различни центъра (фиг. 3).
1.2.ПАРАЛЕЛНА ПРОЕКЦИЯ
Случаят, когато проекционният център е отстранен до безкрайност, получи широко приложение в практиката. Изпъкналите греди са успоредни между тяхсебе си, а проекциите на точки, фигури и тела се наричат успоредни проекции.
От своя страна паралелните проекции са разделени на правоъгълни и наклонени.
В първия случай проекционната равнина с направлението на проекцията сключва ъгъл 90 o , а във втория случай той не е равен на 90 o (фиг. 4 и фиг. 5).
Всяка точка в пространството съответства само на една успоредна проекция. Обратното твърдение няма смисъл.
За да се определи точка в пространството, е необходимо да има две нейни успоредни проекции, получени с различни посоки на проекция (фиг. 6).
В бъдеще ще използваме паралелни проекции, ортогонални (правоъгълни) и аксонометрични, като първата е правоъгълна, а втората е правоъгълна и наклонена.
1. 3. Ортогонални проекции на точка (диаграма на Монж).
Същността на метода на ортогоналната проекция се състои в това, че обектът се проектира върху две взаимно перпендикулярни равнини чрез лъчи, ортогонални (перпендикулярни и кръгови) на тези две равнини.
Едната от тези проекционни равнини е разположена хоризонтално, а другата е разположена вертикално. Равнината се нарича хоризонтална равнина на проекциите, фронтална. Равнините и са безкрайни и непрозрачни. Линията на пресичане на проекционните равнини се нарича ос на проекции (координати) и се обозначава с OX.
Проекционните равнини разделят пространството на четири двустенни ъгъла (четвърти) I , II , III , IV (фиг. 7).
Фиг.7. Система от взаимно перпендикулярни проекционни равнини
При конструирането на проекции трябва да се помни, че ортогоналната проекция на точка върху равнина е основата на перпендикуляра, пуснат от дадена точка към тази равнина.
1 хоризонтална проекция на точка А
A 2 - фронтална проекция на точкатаА
Проекционните лъчи определят равнината
( AA 2 AA 1 ) перпендикулярна на проекционните равнини и линиите на тяхното пресичане на оста OX. Тази равнина също се пресича по отсечки A 1 A x и A 2 A x , които образуват прави ъгли с оста X и помежду си с връх в точка A x
AA 1 \u003d A 2 A x разстояние от точка A до
AA 2 \u003d A 1 A x - разстояние от точка А до
Ортогоналните проекции на точка върху две взаимно перпендикулярни равнини напълно определят положението на точката в пространството.
Конструкцията на проекции на точки в 4-ъгълни пространства е показана на фиг.8.
За да се получи плосък чертеж, равнината се комбинира чрез въртене около оста OX с равнината.
Проекционен чертеж, в който проекционните равнини с всичко, което е изобразено върху тях, се комбинират по определен начин една с друга, се нарича графика на Монж (фиг. 9).
Проекциите на една и съща точка върху две взаимно перпендикулярни равнини са разположени на права линия, перпендикулярна на оста на проекцията x 12.
Тази права линия се нарича посока на проекцията или линия на връзката на проекцията.
1.4. ОРТОГОНАЛНА СИСТЕМА ОТ ТРИ РАВНИНИ НА ПРОЕКЦИИ
Две проекции на точка напълно определят нейното положение в пространството. Тъй като всяка фигура или тяло е набор от точки, може да се твърди, че две ортогонални проекции на обект напълно определят неговата форма.
На практика обаче често се налага да се създават допълнителни прогнози. - профилна проекционна равнина [ AA 3 ] (фиг. 10).
Проекциите на точки върху профилната равнина на проекциите се наричат профилни проекции A 3 .
Проекционни равнини, пресичащи се по двойки, определят три оси О X ; Относно Y и Относно Z, които могат да се разглеждат като системаправоъгълни декартови координати в пространството с начало в точка O.
A 1 Ay \u003d X абциса (разстояние от точка до)
A 1 Ah \u003d Y - ордината (разстояние от точка до)
A 2 Ah \u003d - прилагане (разстояние от точка до)
Дължините на проектиращите перпендикуляри, които определят разстоянието на точка от проекционните равнини, са координатите на точката. Точката е посочена в следната форма: A (X, Y, Z). Знаците на координатите X, Y, Z в четирите ъглови пространства са показани в таблица 1.
1.5. БИСЕКТРАЛНИ РАВНИНИ (РАВНИНА НА СИМЕТРИЯ И РАВНИНА НА ИДЕНТИЧНОСТ)
Равнината, която минава през I и III ъглови пространства и ги разделя наполовина, се нарича равнина на симетрия и се обозначава (фиг. 11).
Равнината, която минава през II и IV ъглови пространства и ги разделя наполовина, се нарича равнина на идентичност и се обозначава (фиг. 12).
Фигура 13 показва изглед А на пресичащи се равнини; ; ; , по който лесно се определят координатите на точки A , B , C , D принадлежащи на равнините и .
Координатите Y и Z на точките, лежащи в равнината на симетрия, са еднакви по големина и знак: Ua = Z A ; -U C \u003d Z C.
Координатите Y и Z на точките, лежащи на единичната равнина, са еднакви по големина, но противоположни по знак: - Y В = Z В ; Y D \u003d - Z D
1.6. ТОЧКИ, СИМЕТРИЧНИ ОТНОСНО СИСТЕМИСТРАЛНИ РАВНИНИ.
Нека точка L е симетрична на точка K спрямо (фиг. 14). Тогава координатата Y K е равна по големина и знак на координатата Z L ( Y K \u003d Z L ), а координатата Z K е равна по величина и знак на координатата Y L ( Z K \u003d Y L ).
Координатите Y и Z на точки, които са симетрични спрямо равнината на симетрия, са равни по големина и знак на координатите Z и Y на дадените точки.
Нека точката M е симетрична на точката Kпо отношение на равнината на тъждеството (фиг. 15). Тогава координатите Y K са равни по величина, но противоположни по знак на Z M координатата, а Z K координатата е равна по величина, но противоположни по знак на Y M координатата ( Y K = Z M ; Z K = Y M ).
1.8. ТОЧКИ, СИМЕТРИЧНИ ОТНОСНО ПРОЕКЦИОННИТЕ РАВНИНИ
Нека точка B е симетрична на точка A спрямо равнината (фиг. 16).
За точки, симетрични спрямо хоризонталната проекционна равнина, координатата Z променя знака на противоположния Z A = - Z B . A(X, Y, Z); B(X, Y, - Z).
Нека точка C е симетрична на точка A по отношение на равнината на проекциите. За точки, които са симетрични по отношение на фронталната равнина на проекциите, координатата Y променя знака на противоположния - Y C = Y A . A(X, Y, Z); C(X, - Y, Z).
Нека точка D е симетрична на точка A по отношение на оста на проекциите OX. За точки, които са симетрични спрямо оста на проекции OX, координатите Y и Z променят знака на противоположния Y D = - Y A ; Z D = - Z A . A(X, Y, Z); D (X, - Y, -Z).