Posobie_Obschaya_topologia - Страница 3
ИМОТ 2 0 . За всеки две множества U , V от β и за всяка точка x U ∩ V съществува W от β така, че x W U ∩ V .
По този начин, за да бъде система β от отворени подмножества на X база в X, е необходимо системата β да притежава тези две свойства.
Оказва се, че именно тези свойства напълно характеризират основата на всяка топология, а именно следната важна теорема е налице, което освен това показва още един начин за дефиниране на топология.
ТЕОРЕМА 1.9 (ЗА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ТОПОЛОГИЯТА ЧРЕЗ БАЗАТА). Нека някаква система β от подмножества от X е дадена в произволно множество X, което има горните две свойства. Тогава множеството X има единствена топология τ, една от чиито бази е системата β.
◄ Действително, нека τ е семейство, състоящо се от празното множество и всички подмножества на множеството X , всяко от които е обединение на подмножества от колекцията β . Тогава изпълнението на аксиоми 0.1 и 0.2 е очевидно. Нека проверим валидността на аксиома 0.3, която очевидно е достатъчна за проверка за случая, когато се пресичат само две подмножества. Нека U , U ′ –
нека U = V i , U = V ′ j , където
принадлежат на β. Помислете за пресечката
) ∩ ( V ′ j ) = ( V i ∩ V ′ j ),
което показва, че за нас е достатъчно да проверим дали всеки от
множества от вида V i ∩ V ′ j принадлежи на τ .
Нека x V i ∩ V ′ j , тогава по свойството
2 0 , съществува W x β
x W x V i ∩ V′ j,
ще имаме V i ∩ V ′ j = W x , където
кръстовище V i
∩V j . Така конструираното семейство τ
образува топология върху X и системата β очевидно служи за нейна основа.
Що се отнася до уникалността на такава топология, тя следва от факта, чесистемата, състояща се от всички възможни обединения на множества, включени във фиксираната система β, очевидно е уникално дефинирана и следователно, по-специално, ако две топологии имат една и съща основа, тогава те съвпадат. ►
Нека сега се обърнем към понятието за така наречената топологична предбаза.
интервали ( X , τ )
се нарича предбаза или
топология τ, ако системата β, състояща се от всички възможни крайни пресичания на множества от γ, формира основата на топологията τ.
Ясно е, че всяка база е предбаза, но не и обратното.
Видяхме по-горе, че не всяка система от подмножества може да служи като
основа на някаква топология. Възниква въпросът: може ли произволна система α от подмножества от X да служи като предбаза на някаква топология в X . С други думи, възможно ли е, започвайки от произволна колекция α от нейните подмножества, да се конструира топология τ, така че оригиналната система α да служи като предбаза за нея, т.е. да се специфицира топология τ, така че всички подмножества от α да са отворени в тази топология и в допълнение всяко множество, отворено в топологията τ, е обединението на крайни пресечни точки на подмножествата, включени в колекцията α. Нека посочим конструкция, която ще покаже, че това винаги е възможно. Наистина, от аксиома 0.3 заключаваме, че колекцията α трябва непременно да бъде завършена до колекцията β чрез добавяне към α на всички подмножества, представими като пресечна точка на краен брой подмножества от α, включително X, разглеждана като пресечна точка на празното множество от подмножества от α.
И накрая, по силата на аксиома 0.2, ние трябва да завършим семейството β към семейството τ, като добавим всички подмножества на множеството X, които са обединение на всяко семейство подмножества от β, включително празното множество, разглеждано катообединението на празното множество от подмножества на β . Лесно е да се докаже, че полученото семейство τ вече удовлетворява всички аксиоми на топологията и ще дефинира най-слабата от всички топологии, в които всички подмножества на α са отворени. Построената по този начин топология τ се нарича топология, генерирана от оригиналната колекция α , за която самата колекция α служи като система от генератори или предбаза на тази топология, а системата β в тази конструкция служи като база.
По този начин произволна колекция от подмножества от X може да служи като предбаза на някаква топология, докато, за да служи като основа на някаква топология, както беше посочено по-горе, е необходимо и достатъчно тя да има свойствата
Забележка 1.6. По-често се оказва удобно да се използва следното условие, което е достатъчно (най-общо казано, не е необходимо), за да може началната колекция α да служи като основа на някаква топология в X . Оказва се, че за това е достатъчно обединението на всички множества от α да съвпада с X и множеството α да е затворено спрямо всички възможни непразни крайни пресечни точки. Разбира се, това условие е еквивалентно на факта, че непразно пресичане на произволни две множества от α принадлежи на колекцията α .
Накрая отбелязваме, че определена колекция от подмножества от X може да служи като предбаза или база само за добре дефинирана топология, докато дадена топология може да има различни предбази и бази и една или друга база (съответно предбаза) се предпочита в зависимост от естеството на разглеждания проблем.
Пример 1.23. Топологията в равнината, генерирана от всички възможни линии, очевидно не е нищо друго освен дискретна топология.
Пример 1.24. Семейството α , състоящо се от всички възможнинабори от формата
равнина на обичайната си (евклидова) топология.
Пример 1.25. Нека X е множеството от всички точки на някакъв затворен кръг с център в началото и нека β е семейството от подмножества на X, състоящо се от всичките му диаметри и центъра (разглеждано като подмножество с една точка). Тъй като семейството β очевидно удовлетворява и двете условия на предходната теорема, съществува добре дефинирана топология в множеството X, за която семейството β служи като основа. Ще се върнем към тази топология няколко пъти по-долу, защото тя има някои забележителни свойства.
Пример 1.26. Топология на поръчката. Нека ( X , ≤ ) е произволно линейно подредено множество, β е системата от всички негови отворени интервали
от формата ( ← , α ) = < x X ; x a >, ( a , → ) = < x X ; x > a >
( a , b ) = < x X ; a x b >, където a , b X . Лесно е да се провери дали системата
удовлетворява условията на теоремата за дефиниране на топология с помощта на база, така че β служи като основа на топология в X, наречена топология на реда. Ясно е, че една от предосновите на топологията на порядъка е системата α , която се състои от множества от формата < x X ; x x 0 > и < x X ; x >x 0 > , където x 0 минава през
всички X. Също така е ясно, че топологията на реалната линия R 1 не е нищо друго освен топологията на реда, генерирана от естествения ред в набора от реални числа.
Пример 1.27. Рационална линия. Множеството Q от рационални
на числа, надарени с топология на реда, генерирана от естествения ред върху нея, се нарича рационална линия.
Пример 1.28. Топология на полуотворени интервали. Нека ( X , ≤ ) –
произволно линейно подредено множество, а β ( − ) е системата от всички негови леви полуотворени интервали, т.е.набори от формата ( a , b ] = < x X ; a x ≤ b >и
( ← , a ] = < x X ; x ≤ a >. Лесно е да се провери, че системата β ( − ) е основата на някаква топология, наречена топология на ляво-полуотворени интервали.
По същия начин системата β ( + )
всички интервали полуотворени отдясно, т.е.
множества от формата a , b ) =
и a , → ) = < x X ; x ≥ a >, сервира
основата на топологията, наречена топология на десни полуотворени интервали. Оказва се, че описаните топологии имат редица интересни
"патологични" свойства, които ще бъдат отбелязани по-късно. Сега даваме определението за основа и предбаза в точка.
ДЕФИНИЦИЯ 1.14. Система β x 0 от отворени околности на точка x 0
се нарича база (локална база) в точка x 0, ако всяка околност U на точката x 0 съдържа част от своята околност V от системата β x 0 ; система α x 0 от отворени околности на точка x 0 се нарича предбаза в точка x 0, ако системата, състояща се от всички възможни крайни пресичания на множества от α x 0, образува база в точка x 0 .
Нека накрая да преминем към дефиницията на два много важни класа топологични пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. За топологично пространство X се казва, че удовлетворява втората аксиома за изброимост или пространство с изброима база, ако има база, състояща се от най-много изброим брой отворени множества; За пространство X се казва, че удовлетворява първата аксиома за изброимост, ако във всяка от неговите точки съществува локална база, състояща се от най-много изброим брой околности на тази точка.
Забележка 1.7. Очевидно, ако едно пространство X удовлетворява втората аксиома за изброимост, то удовлетворява още повече първата аксиома за изброимост. Наистина, нека U 1 , U 2 , . U n , . е изброима база в X, тогава
семейството β x 0 , състоящо се от всички онези множества на тази база, които съдържат точката x 0 , очевидно образува изброима база в x 0 .
Въпреки това, има пространства, които удовлетворяват първата аксиома за изброимост, но не и втората аксиома за изброимост. Най-простият такъв пример е произволно неизброимо множество X, надарено с дискретна топология. Наистина, удовлетворението от първата аксиома за изброимост е очевидно, тъй като за всяко x 0 от X едноточковата
подмножество < x 0 >, тъй като е отворен, вече служи като основа в тази точка. СЪС
от друга страна, ясно е, че всяка основа на такова пространство във всеки случай трябва да включва безброй набор от подмножества с една точка < x >
защото < x > служи като отворена околност на точката x в дискретно
Пример 1.29. Всяко метрично пространство ( X , ρ ) удовлетворява първата аксиома за изброимост, тъй като за всяко x 0 X отворените топки B ( x 0 ,1 n ) с център в x 0 и радиус 1 n очевидно образуват изброима основа в точката x 0 . Междувременно, ако множеството X е неизброимо и метриката ρ е дискретна, тогава пространството ( X , ρ ) в съответствие с казаното по-горе, разбира се, няма да бъде
разполагат със счетоводна база.
Нека докажем едно забележително свойство на пространствата с изброима база, но първо даваме едно важно определение.
Система S = < A i , i I >множества
A i X се нарича покритие
пространство X, ако обединението A на всички A е същото като X . Покритие S