Пред вас има три кутии, в коя от които е наградата

Пред вас има три кутии, едната от които съдържа ценна награда, другите две не съдържат нищо. Можете да изберете всяка кутия, но все още не знаете коя награда. Една от двете кутии, които не сте избрали, се отваря и се показва празна. Сега можете или да запазите кутията, която първоначално сте избрали (запазете), или да я смените с друга, неотворена (заменете). Какво бихте предпочели да направите (запазете или заменете)?

Този въпрос е разновидност на парадокса на Монти Хол и е формулиран през 1975 г. от статистика на географските данни Стив Селуин. Монти Хол беше първият водещ на телевизионното шоу за игри Let's Make a Deal. Гатанката на Selwyn се отнася до ситуация, подобна на последния кръг на това телевизионно шоу, в който състезателите избират награди, които са пред вратите. В писмо до American Statistician Selwyn твърди, че трябва да се съгласите на размяната. Тази опция изглеждаше толкова спорна за мнозина, че в следващото писмо Селуин трябваше да я защити. Монти Хол пише на Селуин и се съгласява с неговия анализ.

Оттогава този парадокс се превърна в тема на огромен брой дискусии. След като беше споменат през 1990 г. от Мерилин вос Савант в нейната колона за списание Parade, той стана популярен сред широката публика. На следващата година Джон Тиърни от The New York Times съобщи, че мистерията е била „обсъждана както в залите на Централното разузнавателно управление, така и в казармите на бойните пилоти във войната в Персийския залив. Той беше анализиран от математици от Масачузетския технологичен институт и програмисти от Националната лаборатория в Лос Аламос ... ". Оказа се, че тази задача се използва и в програмата Car Talk,домакин на NRP, както и в телевизионното предаване NUMB3RS. Използва се в интервюта в Bank of America и други финансови фирми. Циниците могат да намерят паралел с управлението на риска във финансовата индустрия, където вероятностите тайно се променят и се опитват да ви дадат „празна кутия“.

Най-интересното в загадката Selwyn е нейната трудност.

Едно проучване установи, че само 12% от хората, на които е зададен този въпрос, са дали правилни отговори. Този резултат е изненадващ, като вземете предвид, че всеки без улики може да бъде прав с просто предположение 50 пъти от 100. С други думи, това е случай, в който вашата интуиция ви води в грешната посока.

Повечето от анкетираните смятат, че няма значение дали ще запазите първата кутия или ще я смените. По-напредналите биха могли да добавят, че всеки, който си мисли, че може да повиши очакванията си чрез търгуване, се заблуждава, т.е. държи се по същия начин като губещите играчи, които настояват, че слот машината е „манипулирана“ и следователно джакпотът никога не може да бъде улучен от нея.

При всеки въпрос, свързан с вероятностите, е важно да се знае какво се случва случайно и какво се случва по план. Да приемем, че вашият приятел хвърли монета 10 пъти и всеки път, когато се появи хедс-ъп. Какъв е шансът следващото хвърляне да дойде отново с глави? Не можете да кажете със сигурност, докато не разберете дали предишната серия е просто резултат от късмет или следствие от факта, че тази монета има някои характеристики.

Когато Selwyn измисли тази загадка, оригиналната версия на Let's Make a Deal все още се излъчваше и вече беше основна част от поп културата. Баба ми, която гледаше сериала, мислеше, че Монти е измамник, макар и известен. Така го прави тяоправдан, говорейки високо на телевизора: „Ако иска да ви предложи тази врата, той трябва да знае, че зад нея има нещо по-малко ценно от това, което участникът вече има.“

Излишно е да казвам, че тя не сгреши. В едно интервю Хол каза, че когато знае, че даден състезател е избрал най-голямата награда, той би предложил пари на човека в замяна на това, което стои зад избраната от тях врата. Това добави към забавлението на шоуто. Когато човек размени голяма награда за малки неща, той се превърна в губещ и това предизвиква много повече емоции у публиката.

Нека дадем имена на кутиите. Нека бъдат такива: избрани, открити и изкусителни. Първоначално шансовете да вземете кутията с награди са едно към три. След като направите своя избор, една от двете оставащи кутии се отваря и показва, че е празна. За да определите как това е повлияло на шансовете ви да спечелите голяма награда, трябва да знаете кой отваря втората кутия и каква е нейната цел.

Има два възможни варианта.

Кутията, която трябва да се отвори, е избрана на случаен принцип (например хвърлена монета) от двете кутии, които не сте избрали. Това означава, че отворената кутия може да съдържа награда, въпреки че, както се оказа, нямаше такава.
Кутията беше отворена от човек, който знаеше какво има в нея и планираше предварително да покаже празна кутия и можеше да го направи при всякакви условия.

Първоначалният проблем на Selwyn не оставя съмнение, че втората опция е желателна за телевизията. („Без съмнение Монти Хол знае коя кутия е ценна и затова не отваря кутията, в която са ключовете от колата.“)

Това важно уточнение често се пренебрегва. Както бе споменато по-горе, тази задача, дадена на интервюто, е спорна. В неяне се споменава домакинът, който може да прибегне до измама, и не се казва как се избира кутията, която ще се отвори. Трябва да помолите интервюиращия да разясни тези подробности и да посочите, че въпросът позволява различни отговори в зависимост от това как е избрано второто поле.

Когато отворите кутията в първата опция, получавате определена информация: в тази кутия няма награда, въпреки че може да е там. Това драстично увеличава шансовете ви да имате награда в избраната от вас кутия от 1⁄3 на 1⁄2. Шансовете да имате награда в изкусителната кутия също се променят. Тъй като и двете кутии имат шанс петдесет на петдесет за печалба, няма смисъл да сменяте една кутия с друга.

Отваряйки кутията във втората опция, не получавате полезна информация. Монти (или някой друг) знае какво има в кутиите и винаги може да избере празна и да ви я покаже. Неговото умишлено показване не прави нищо, за да увеличи шансовете кутията, която първоначално сте избрали, да е ценна. С други думи, първоначалният шанс от 1⁄3 остава същият след отваряне на втората кутия.

С други думи, отварянето на втората кутия не променя 2⁄3 шанса една от двете кутии да съдържа награда. Но тъй като една от тези кутии беше показана празна, тази вероятност от 2⁄3 сега пада изцяло върху кутията за изкушение. Приемайки предложението на домакина за заместване, вие удвоявате шансовете си за спечелване на награда.

Ако все още не разбирате защо отговорът на Selwyn е правилен, представете си, че има 100 кутии. Избирате кутия # 79. След това Монти отваря 98 от останалите 99 кутии. Всички са празни. След това, в допълнение към вашата кутия, да кажем, че остава неотворена кутия номер 18. Монти ви пита дали искатепромяна на поле #79 на поле #18?

Започнахте с шанс 1 към 99 ключовете за колата ви да са в кутията ви. Монти се държи като лидер. И той няма намерение да ви показва нищо друго освен празна кутия и може да го направи. Шансът наградата да е във вашата кутия остава същият, тоест 1 ⁄100, докато шансът да е в кутия 18, след като домакинът отвори всички останали кутии, които се оказаха празни, се увеличава до 99 ⁄100. Така че, ако имате 100 кутии пред вас, вие увеличавате шансовете си 99 пъти (!), ако ги смените за останалите.

Когато психолозите Доналд Гренбърг и Тад Браун представиха този проблем по време на интервю (в техния случай хората избраха вратите), те продължиха да чуват обяснения като следното:

„Не бих избрал друга врата: ако направя грешка при размяната, ще се измъчвам повече, отколкото ако остана с моята врата и загубя.“

„Това беше първият ми избор, направен инстинктивно и ако греша, така да бъде. Но ако сменя вратите и се окаже, че греша, ще бъде още по-лошо.”

„Наистина ще съжалявам, ако сменя вратата и загубя. Психологически е по-добре да останеш верен на първия си избор."

Всичко това са синдроми на страх от загуба. Ние, хората, сме склонни да избягваме решения, които може да се окажат лоши, дори ако шансовете са добри. По-добре да сте в безопасност, отколкото да съжалявате. Всеки, който измисля нови продукти, трябва да го има предвид. Потребител, който мисли за смяна на кутии или марки, може да търси нещо, което няма нищо общо с логиката.

Страхът от загуба е характерен и за математическите гении. В това отношение те не се различават от всички останали. Говори се, че известният математик Пол Ердос, когато за първи път чува за товагатанка, решил я неправилно. „Дори физиците, нобеловите лауреати, редовно дават грешни отговори“, каза психологът Масимо Пиатели-Палмарини, „и те настояват на своя грешен отговор и са готови да разбият на пух и прах всеки, който предложи правилния отговор.“