Преобразуване на числа от една бройна система в друга
Цели на урока:
- повторете изучения материал по темата бройна система;
- научите как да превеждате число от десетична система във всяка друга позиционна бройна система и обратно;
- да овладеят принципите на прехвърляне на числа от една система в друга;
- развиват логическо мислене.
Напредък на урока
В началото на урока кратък преглед и проверка на домашното.
В каква форма се представя цифровата информация в компютърната памет?
За какво се използват бройните системи?
Какви видове бройни системи познавате? Дайте вашите примери.
- Каква е разликата между позиционните и непозиционните системи?
Целта на нашия урок е да научим как да преобразуваме число от десетичната система във всяка друга позиционна бройна система и обратно. Но първо ще разгледаме как можете
представлява всяко неотрицателно цяло число:
В позиционните системи стойността на целочислен запис се определя съгласно следното правило: нека a na n-1a n-2…a 1a 0 е записът на числото A, а i са цифри, тогава
| A = a n p n +a n-1 p n-1 +a n-2 p n-2 +. + a 1 p 1 + a0 p 0 (1), |
където p е цяло число, по-голямо от 1, което се нарича основа на бройната система
За да може всяко неотрицателно цяло число да бъде записано за дадено p с помощта на формула (1) и освен това по уникален начин, числените стойности на различните цифри трябва да бъдат различни цели числа, принадлежащи към сегмента от 0 до p-1.
1) Десетична система
число 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Тройна система
число 2013 = 2 3 2 +0 3 1 +1 3 0
Забележка: долният индекс в записа на число показва основата на бройната система, в която е записано числото. За десетичната бройна системаиндексът може да бъде пропуснат.
Представяне на отрицателни и дробни числа:
Във всички позиционни системи знакът „–“ се използва за запис на отрицателни числа, точно както в десетичната система. Запетая се използва за разделяне на цялата част от числото от дробната част. Стойността на записа a na n-1a n-2…a 1a 0, a -1 a -2…a m-2 a m-1a m на числото A се определя по формулата, която е обобщение на формула (1):
| A = an p n +a n-1 p n-1 +a n-2 p n-2 +…+a1 p 1 +a0 p 0 +a-1 p -1 +a -2 p -2 +…+am-2 p -(m–2)+am–1 p –(m–1)+amp –m (2), |
75,6 = 7 10 1 +5 10 0 +6 10 –1
–2,3145 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3 )
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична:
Трябва да се разбере, че при превод на число от една бройна система в друга, количествената стойност на числото не се променя, а само формата на запис на числото, както при превод на името на числото, например, от български на английски.
Преобразуването на числата от произволна бройна система в десетична се извършва чрез директно изчисление, като се използва формула (1) за цели числа и формула (2) за дробни числа.
Преобразуване на числа от десетични в произволни.
Преобразуването на число от десетична система в система с основа p означава намиране на коефициентите във формула (2). Понякога това е лесно да се направи с проста селекция. Да приемем например, че искате да преобразувате числото 23,5 в осмично. Лесно се вижда, че 23,5 = 16+7+0,5 = 2 8+7+4/8 = 2 8 1 +7 8 0 +4 8 –1 = 27,48. Ясно е, че отговорът не винаги е толкова очевиден. В общия случай методът за превод на целите и дробните части на числото се използва отделно.
За преобразуване на цели числа се използва следният алгоритъм (получен на базата на формула (1)):
1. Намерете частното и остатъка отделение на число на p. Остатъкът ще бъде следващата цифра ai (j=0,1,2 ...) от числото в новата бройна система.
2. Ако частното е нула, тогава преводът на числото е завършен, в противен случай прилагаме параграф 1 към частното.
Забележка 1. Цифрите ai в записа на числото се номерират отдясно наляво.
Забележка 2. Ако p>10, тогава е необходимо да се въведат символи за цифри с числени стойности по-големи или равни на 10.
Преобразувайте число 165 в септимална бройна система.
165:7 = 23 (остатък 4) => a0 = 4
23:7 = 3 (остатък 2) => a1 = 2
3:7 = 0 (остатък 3) => а2 = 3
След проверка по формула (1) ще се уверим, че преводът е правилен:
3247=3 7 2 +2 7 1 +4 7 0 =3 49+2 7+4 = 147+14+4 = 165.
За превод на дробните части на числата се използва алгоритъмът, получен въз основа на формула (2):
1. Умножете дробната част на числото по p.
2. Цялата част от резултата ще бъде следващата цифра am (m = -1, -2, -3 ...) на числото в новата бройна система. Ако дробната част на резултата е равна на нула, тогава преводът на числото е завършен, в противен случай прилагаме параграф 1 към него.
Забележка 1. Цифрите am в записа на числото се подреждат отляво надясно във възходящ ред на абсолютната стойност на m.
Забележка 2. Обикновено броят на дробните цифри в нов запис на число е ограничен предварително. Това ви позволява да извършите приблизителен превод с определена точност. В случай на безкрайни дроби такова ограничение осигурява крайността на алгоритъма.
Преобразувайте числото 0,625 в двоичната бройна система.
0,625 2 = 1,25 (цяла част от 1) => а-1=1
0,25 2 = 0,5 (цяла част от 0) => а-2 = 0
0,5 2 = 1,00 (цяла част от 1) => а-3=1
Така че 0,62510 = 0,1012
След проверка по формула (2) ще се уверим, че преводът е правилен:
0,1012=12-1 +0 2- 2 +1 2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Преобразувайте числото 0,165 в кватернерната бройна система, като се ограничите до четири кватернерни цифри.
0,165 4 = 0,66 (цяла част от 0) => а-1=0
0,66 4 = 2,64 (цяла част от 2) => а-2= 2
0,64 4 = 2,56 (цяла част от 2) => а-3= 2
0,56 4 = 2,24 (цяла част от 2) => а-4= 2
И така, 0,16510 ” 0,02224
Нека извършим обратен превод, за да сме сигурни, че абсолютната грешка не надвишава 4–4:
0,02224 = 0 4 -1 +2 4 -2 +2 4 -3 +2 4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625
0,1640625–0,165 = 0,000944). Групираме числата по четири, добавяйки отляво и отдясно необходимия брой нули
и, позовавайки се на таблицата, получаваме: 1A9554,C16
Изход:
В коя бройна система е по-добре да се пишат числата е въпрос на удобство и традиция. От техническа гледна точка е удобно да се използва двоична система в компютър, тъй като тя използва само две цифри 0 и 1 за запис на число, което може да бъде представено с две лесно разграничими състояния „няма сигнал“ и „има сигнал“.
И напротив, за човек е неудобно да се занимава с двоични записи на числа поради факта, че те са по-дълги от десетичните и имат много повтарящи се цифри. Следователно, ако е необходимо да се работи с машинни представяния на числа, се използват осмични или шестнадесетични бройни системи. Основите на тези системи са цели степени на две и следователно числата лесно се преобразуват от тези системи в двоични и обратно.
Записване на домашното:
а) Запишете датите на раждане на всички членове на вашето семейство в различни бройни системи.
б) Преобразувайте числата от двоични в осмични и шестнадесетични, след което проверете резултатите, като преобразувате обратно: