Прочетете Математически пъзели и забавления онлайн от Гарднър Мартин - RuLit - Страница 82
Методът на плъзгащото съвпадение може да се използва както за потвърждаване на правилността на всички теореми, споменати по-горе, така и за намиране на нови. Той служи като удобен начин за измерване на ъглите на всякакви полигони, включително звездни полигони и многоъгълници с най-сложните самопресичания. Тъй като кибритът, когато се връща в първоначалното си положение, има посока, съвпадаща с оригинала или противоположна на него, сборът от ъглите, описани от него (разбира се, при условие, че кибритът винаги се върти в една и съща посока) винаги е кратно на разширения ъгъл. Ако кибритът, описващ ъглите, може да се върти и в двете посоки, както често се случва в случай на самопресичащи се многоъгълници, тогава се оказва невъзможно да се получи сумата от ъглите, въпреки че могат да се формулират някои други теореми. Например, ако кибрит се плъзне по периметъра на самопресичащия се многоъгълник, показан на фиг. 195, тогава ще се върти по посока на часовниковата стрелка във всички ъгли A и обратно на часовниковата стрелка във всички ъгли B.
Фиг. 195Сборът от ъглите на този самопресичащ се многоъгълник, обозначен с A, е равен на сбора от неговите ъгли, обозначен с B.
По този начин не можем да получим сумата от всичките осем ъгъла на този многоъгълник, но можем да кажем, че сумата от ъгли A е равна на сумата от ъгли B. Нашето заключение се проверява лесно, като изрежете многоъгълника от хартия и отрежете всичките му ъгли или като дадете строго геометрично доказателство.
Добре известната 47-ма теорема на Евклид – Питагоровата теорема – дава възможност за много елегантни ножични доказателства. Ще цитираме само едно забележително доказателство, открито през миналия век от Хенри Перигал, лондонски борсов брокер и любител астроном. Изградете квадрати върху краката на произволен правоъгълен триъгълник (фиг. 196).
Фиг. 196Доказване на Питагоровата теорема с помощта на лист хартия и ножица.
Разделете големия квадрат (или който и да е от квадратите, ако правоъгълният триъгълник е равнобедрен) на четири еднакви части, като начертаете две взаимно перпендикулярни линии през центъра на квадрата, едната от които е успоредна на хипотенузата на триъгълника. Изрежете части от по-големия и по-малкия квадрат от лист хартия. Без да променят ориентацията си в равнината, изрязаните части могат да се преместят така, че да образуват един голям квадрат (на фиг. 196 този квадрат е показан с пунктирана линия), построен върху хипотенузата.
Нарязването на многоъгълници на части и съставянето на най-новите многоъгълници е една от най-очарователните области на забавната математика. Доказано е, че всеки многоъгълник може да бъде нарязан на краен брой части, които образуват всеки друг многоъгълник с равен размер на първия, но рязането на фигури представлява интерес само в случаите, когато броят на частите е достатъчно малък, за да може метаморфозата да удиви публиката. Кой би могъл да предвиди, че една правилна шестоъгълна звезда може да бъде разрязана само на пет части, които образуват квадрат (фиг. 197)?
Фиг. 197Как да изрежем правилна шестоъгълна звезда, така че да може да се превърне в квадрат.
(За да се направи квадрат от части на петоъгълна звезда, той трябва да бъде разрязан на поне осем части.) Австралиецът Хари Линдгрен изглежда е водещият експерт в изрязването на геометрични форми. На фиг. 198 показва неговия метод за изрязване на правилен дванадесетоъгълник, чиито части образуват квадрат.
Фиг. 198Как да изрежем правилен дванадесетоъгълник, за да съберем частите муквадрат.
Има още един напълно различен клас забавление, също свързано с рязането на хартия, но по-познато на фокусниците, отколкото на математиците: лист хартия първо се сгъва няколко пъти, след това се прави единичен прав разрез и, разгънат, показва един или друг удивителен резултат на публиката.
Например разгънатият лист хартия може да има формата на правилен многоъгълник или по-сложна геометрична фигура, в него може да се появи дупка със същата странна форма и т.н.
Магьосниците са добре запознати с необичаен трик с едно изрязване, наречено "двуцветно изрязване". Квадратно парче плат с размери осем на осем клетки, наподобяващо обикновена шахматна дъска (клетките могат да бъдат например червени и черни), се сгъва по определен начин и се прави един разрез с ножица. В резултат на това червените квадрати се отделят от черните и цялата „дъска“ се нарязва на отделни квадрати. Вземайки лист паус (тънката хартия ще ни позволи да видим контурите на клетките, дори когато е сгъната няколко пъти), лесно е да очертаете линията на рязане за този трик и начини за изрязване на прости геометрични фигури. Изрязването на по-сложни модели е доста трудна задача.
Стар трик с неизвестен произход, също свързан с рязане на лист хартия, е показан на фиг. 199.
Фиг. 199Стар трик за рязане на хартия.