Редуващи се серии, Primat

Помислете за редица от числа с безкраен брой положителни и безкраен брой отрицателни членове. Такава серия се нарича редуваща се серия.

Нека запишем произволна редуваща се поредица $a_+a_+a_+…+a_+…=\sum\limits_^a_$ $(1)$, където числата $a_,a_,a_,…,a_,…$ са както положителни, така и отрицателни и са подредени в поредицата произволно. Ние също така разглеждаме серия, съставена от абсолютните стойности на членовете на серията (1): $a_+a_+a_+…+a_+…=\sum\limits_^a_$ $(2)$. За редуващи се серии е вярна следната теорема:

Ако редът $(2)$ се събира, тогава редът $(1)$ също се събира.

Доказателство

Да приемем, че редът $(2)$ се събира. Означаваме с $S_$ частичната сума на серията $(1)$ и с $\sigma_$ частичната сума на серията $(2)$. Тогава: $S_ = a_+a_+a_+…+a_$;

$\sigma_ = a_+a_+a_+…+a_$. Тъй като редът $(2)$ се събира, последователността от неговите частични суми $>$ има границата $\lim\limits_\sigma_=\sigma$ и за всяко $n$ неравенството

$\sigma_\leq\sigma$ $(3)$, Тъй като членовете на $(2)$ са неотрицателни. Означете с $S<>'_$ сумата от положителните членове и с $S<>"_$ сумата от модулите на отрицателните членове, съдържащи се в сумата $S_$. Тогава $S_=S<>'_-S<>"_$ $(4)$, $\sigma_=S<>'_+S<>"_$ $(5)$. Вижда се, че редицата $'_>$ и $"_>$ не намаляват и от равенството $(5)$ и неравенството $(3)$ следва, че те са ограничени: $S<>'_\leq\sigma_\leq\sigma$ и $S<>"_\leq\sigma_\leq\sigma$. Следователно има $\lim\limits_S<>'_=S<>'$ и $\lim\limits_S<>_"=S<>"$. Но в този случай, поради равенството $(4)$, последователността от частични суми на реда $(1)$ има границата $\lim\limits_S_=\lim\limits_(S<>'_-S<>"_)=\lim\limits_S<>'_-\lim\limits_S<>"_=S<>'-S<>"$.

Това означава, че редът $(1)$ се събира. $\blacksquare$

Серията $1-\frac>-\frac>+\frac>+\frac>-\frac>-\frac>+…$ се сближава съгласно доказаната теорема 1, тъй като серията, съставена от абсолютните стойности на членовете на тази серия, се сближава: $1+\frac>+\frac>+\frac>+\frac& gt;+\f rac>+\frac>+…$ По-долу е дадена графика на поведението на първите двадесет, съставена от абсолютни стойности, членове на серията Разглежданият знак за конвергенция на редуваща се серия е достатъчен, но не е необходим, тъй като има редуващи се редици, които се сближават, а редове, съставени от абсолютните стойности на техните членове, се разминават. Така например серията $\sum\limits_^-1^\frac$ се сближава според теста на Лайбниц, а серията $\sum\limits_^\frac$, съставена от абсолютните стойности на нейните членове, се разминава.

Следователно всички сходни редове могат да бъдат разделени на абсолютно и условно сходни.

Редица с реални или комплексни членове $\sum\limits_^a_$ се казва, че е абсолютно сходяща, ако серията $\sum\limits_^\left a_ \right $ се сближава.

Редица $\sum\limits_^a_$ се нарича условно сходяща се, ако тази редица се сближава и серията $\sum\limits_^\left a_ \right $ се разминава.

---