Реферат Математизация на науката и нейните възможности - Банка от резюмета, есета, доклади, курсови работи и
Есе по дисциплината "философия"
Аспирант: Рибалов А.Н.
Омски държавен университет
Предметът на тази работа е проблемът за връзката между математиката и другите науки и по-специално методите и възможностите на математиката в приложението към други науки.
Актуалността на проблема е свързана с вековното развитие и навлизане на математическите методи в различни области на човешката дейност, което само се разширява и задълбочава с времето. В момента виждаме бързо нарастване на броя на математическите приложения, свързани предимно с развитието на компютърните технологии, появата на глобалния интернет. Онези математически идеи, които преди не са напускали полето на академичната наука, сега са познати на програмистите, учените-приложници и икономистите.
Резюмето се състои от три части. Първият описва накратко историята на вековното навлизане на математиката в други науки и успоредно с това някои етапи в развитието на самата математика. Втората част описва някои от основните методи на математизация, техните силни и слаби страни. Третият разглежда границите на математизацията на науката, проблемите, свързани с нея.
История на математизацията на науката
Математиката е кралицата на науките.
Математиката е една от най-старите науки. Самата дума „математика“ има древногръцки корени и означава „наука“ или „знание“. Сега предметът на изучаване на математиката е толкова огромен и разнообразен, че е доста трудно да се определи математиката като наука, която се занимава с това и онова. Макар и тясна, но доста проста дефиниция е дадена в [1]: „Математиката е наука за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят”. Има и игриво определение на неговата наука,дадено от математиците: "Математиката е това, което правя."
Почти от самото начало на математиката тя е неразривно свързана с практическата дейност на човека. Нещо повече, от тази ежедневна практика се появиха първите математически абстракции - естествените числа и най-простите операции с тях: събиране, изваждане и умножение. Това се е случило в праисторически времена.
С появата на първите държави (Древен Египет, Вавилон, Китай) възниква необходимостта от развитие и задълбочаване на математическите знания. Развитието на селското стопанство, архитектурата дава тласък на появата на геометрията. Математическото знание все още беше само емпирични факти; нямаше въпрос за необходимостта от доказване. Много формули бяха представени под формата на определени рецепти, следвайки които можете да получите резултата. Доказателството беше практиката и опитът: ако някой факт беше потвърден практически, поне приблизително, но достатъчно точно за практически нужди, той се считаше за верен. Следователно някои от фактите, открити от египтяните, се оказаха верни само приблизително. Например, те вярват, че съотношението на обиколката към диаметъра е 3,16.
Древногръцките философи и математици са направили много за развитието на математиката. Това е практиката на строги доказателства, въведена от Талес, и прекрасните теореми на Питагор, и методите на Архимед за изчисляване на обемите на различни тела, и аксиоматичната система на геометрията на Евклид, и Диофантовата буквална нотация.
Питагор се опитва да приложи математиката за нуждите на своята философска система, според която Вселената се основава на числа. Да познаваш света означава да познаваш количествените отношения, които го управляват. Той е кредитиран с модел на слънчевата система, в която планетите се движат по сферични орбити, подчинявайки сенякои количествени отношения - така наречената хармония на сферите. Освен това Питагор и неговата школа разкриват интересни числени модели в музиката (височината на вибрациите на струната зависи от нейната дължина). Неговото учение дава първия пример за целенасочено приложение на математиката при обяснение на явленията в природата, обществото и Вселената като цяло. Има израз, приписван на Питагор: „Всичко е число“. На места неговото учение има мистичен характер, далеч от реалното състояние на нещата. Например обожествяването на някои числа: 1 - майката на боговете, универсалният принцип (очевидно аналогия с началото на естествения ред), 2 - принципът на противопоставянето в природата (тъй като противоположностите винаги се срещат по двойки), 3 - природата като триединство на принципа и неговите противоречиви страни (3 = 1 + 2) и т.н. Интересни (макар и абсолютно неверни) са неговите аргументи за връзката между някои аритметични свойства на числата и социалните явления. Например питагорейците разграничават така наречените перфектни числа: 6, 28 и т.н. - числа, равни на сумата от собствените си (т.е. с изключение на самото число) делители: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Тези числа, според Питагор, отразяват съвършенството. Двойки числа, сумата от правилните делители на едно от които е равна на другото и обратно, като 284 и 220, се наричат приятелски и отразяват явлението приятелство в обществото. Питагорейците казаха за истинското приятелство: "Те са приятелски настроени, като 220 и 284." Въпреки тези наивни представи, такива числа все още представляват интерес за теорията на числата, клонът на математиката, занимаващ се с аритметичните свойства на целите числа. Например, все още не е известно дали множеството от съвършени числа е безкрайно или има нечетни съвършени числа?
Следващият период, до 16 век. се характеризира с доста бавен процеснавлизането на математиката в други науки. Проблемите, причинени от търговската дейност, се решават, както в Западна Европа, астрономията и навигацията (тригонометрията), както в арабския изток и в Индия.
В съвремието се наблюдава бурно развитие както на самата математика, така и на нейните приложения. Преходът към нови капиталистически отношения, отслабването на влиянието на църквата върху философията и науката развързват ръцете на изследователите и правят мислите им по-смели. Оттук нататък „природата не е храм, а работилница” и човекът не е послушна марионетка в ръцете на Бог, а господар на собствената си съдба и изследовател на света около себе си.
Един от първите, които усетиха духа на новото време и започнаха да подхождат към науката по нов начин, беше Г. Галилей. Всички от училище познават опитите му за изследване на падането на телата, с които той опровергава хилядолетните заблуди на Аристотел и неговите последователи. За да опише резултатите, Галилей за първи път прилага математическия апарат: началото на диференциалното смятане. Известен е изразът на Галилей: „Книгата на природата е написана на езика на математиката: буквите в нея са триъгълници, кръгове, линии“.
Р. Декарт е известен в математиката благодарение на метода на координатите - своеобразен мост между алгебрата и геометрията. Тази плодотворна идея всъщност се превърна в основен тласък за последващото развитие на математиката. Във философията Декарт е известен като основоположник на рационализма – опит за математизиране на всички научни знания от онова време. Използва методите на математиката и логиката във физиката, физиологията, етиката, философията. Математиката се приема за еталон, тъй като той я смята за модел на хармония и истина. Доказвайки стриктно едно или друго твърдение, математикът напълно убеждава другите в неговата истинност и по този начин освобождава своята наука от спорове и съмнения. Ако има определена математическа задача, тогава нейното решениенапълно затваря въпроса. Философията, например, или моралът има много такива въпроси, които през цялата история са предизвиквали разгорещени дебати и философите не са стигнали до окончателно мнение по тях. А защо не се опитате да ги решите с помощта на математически методи, които работят успешно в тяхната област? В края на краищата никой не се съмнява в валидността на доказаните геометрични теореми и правилното решение на който и да е проблем не предизвиква противоречия.Декарт очерта мислите си в работата си „Беседа за метода, за да насочите правилно ума си и да намерите истината в науките“.
Приблизително по същото време други двама френски математици, Б. Паскал и П. Ферма, полагат основите на теорията на вероятностите, важна област за математически приложения.
Истинска революция в математиката и нейните приложения е откриването на диференциалното и интегралното смятане от И. Нютон и Г. Лайбниц. Това е началото на широкото навлизане на математическите методи във физиката, механиката и астрономията. Основната идея на този метод - идеята за променлива граница - произхожда от трудовете на Архимед, Демокрит и други древногръцки учени. Но цялата му сила беше оценена едва след въвеждането на удобна система за нотация и метода на координатите - които древните гърци не са имали. Защо този метод стана толкова плодотворен специално за физически приложения? Факт е, че характерна черта на почти всички физически процеси е наличието на непрекъснато движение, промени във времето на някои числени параметри, а границите (и интегралите и производните с тях) са само най-важният инструмент за изучаване на непрекъснати функции.
Друга заслуга на Нютон, която по същество направи физиката независима наука, беше идеята за аксиоматизацията на механиката, предложена в работата„Математически принципи на естествената философия“. Там Нютон, вдъхновен от „Принципите на геометрията“ на Евклид, излага няколко основни закона за механичното движение, сега известни като трите закона на Нютон. Въз основа на тези „аксиоми“ той, използвайки математически методи и дедукция, описва качествено и количествено множество физически явления.
Също така сме задължени на Лайбниц за удобната система за нотиране на главните гранични операции. Развивайки по-нататък символната нотация, Лайбниц мечтае за някакво универсално смятане, използвайки което човек може да намери истината чрез механично прилагане на някои правила. "Тогава философите ще спрат да спорят и ще започнат да пресмятат." Неговата мечта в известен смисъл ще се сбъдне в началото на 20 век, когато математиците формализират логиката, като създадат смятането на предикатите.
18 век се характеризира с окончателното математизиране на физиката. Най-великите математици от онова време: Л. Ойлер, Ж.-Л. Лагранж, П.С. Лаплас развива анализа на безкрайно малките, което го прави основен изследователски инструмент в естествените науки. С негова помощ е постигнат пълен успех в небесната механика - движенията на планетите, луната са описани в рамките на закона за гравитацията на Нютон. Лаплас в своя фундаментален труд „Трактат за небесната механика“ провъзгласява тезата, известна като принципа на детерминизма: „Познавайки позициите на всички частици във Вселената и тяхната скорост в даден момент, можем да определим състоянието на Вселената във всеки един момент в бъдещето.“ Математическа обосновка за него е дадена още през следващия век в теоремата на Коши-Ковалевская за съществуването и единственото решение на обикновено диференциално уравнение.
Развитието на математиката и нейните приложения през 20 век е толкова бързо, че е трудно да се опише достатъчно подробно. Нека просто подчертаем някои от основните точки. Физически приложенияпродължи да се развива, без да се ограничава до едно диференциално и интегрално смятане: в ядрената физика, например, те започнаха широко да използват многомерна геометрия и теория на групите; в теорията на относителността неевклидовата геометрия намери забележителни приложения. Теорията на вероятностите може дори да е изпреварила математическия анализ по отношение на броя на приложенията: методите на математическата статистика се използват в огромен брой науки, от физиката до психологията и лингвистиката. Развитието на математическата логика, предизвикано от програмата на Хилберт за обосноваване на математиката, доведе до появата на компютри, които промениха мирогледа на съвременния човек. Практиката поставя нови проблеми, които вече не се решават с методите за анализ на непрекъснати функции, тествани във физиката. Тези дискретни задачи от икономиката, генетиката, криптографията и т.н. се характеризират с трудоемко изброяване на огромен брой възможности, което дори компютрите не могат да направят.
Основни методи на математизация
Който не знае математика, не може да познава друга наука и дори не може да разкрие своето невежество.
Каква е силата и удивителната плодотворност на приложението на математиката в различните науки? За да отговорим на този въпрос, нека анализираме някои методи на математизация.
Най-важният метод е математическото моделиране. Състои се във факта, че изследователят изгражда математически модел на разглежданата област, т.е. подчертава свойствата и количествените характеристики на явлението, които са от съществено значение за него, подчертава съществените връзки между тях и се опитва да намери някакъв подобен обект в математиката.
Например, изучавайки популациите на сардини и хищни риби в Средиземно море, V. Volterra идентифицира следните количествени характеристики:
брой сардини(означавайки ги с x)
брой хищници (съответно y)
той продължи да разкрива връзките между тях, които бяха важни за него:
като цяло всички индивиди са еднакви
популацията на сардини се увеличава, ако няма срещи с хищник
темпът на растеж на популацията му е пропорционален на самата популация (тъй като всеки индивид може да създаде потомство)
броят на сардините, убити от хищници, е пропорционален на броя на срещите с тях и този брой е средно пропорционален на xy
популацията на хищниците намалява при липса на сардини (умират от глад)
скоростта на този спад е пропорционална на броя на хищниците
скоростта на нарастване на броя на хищниците е пропорционална на броя на техните срещи с храна за сардини, тоест стойността на xy.
Като голям специалист в теорията на диференциалните уравнения, Волтера разглежда x и y като функции на времето и бързо намира необходимия обект в математиката - система от обикновени диференциални уравнения
където A, B, C, D са някои положителни коефициенти в зависимост от специфичните условия на околната среда. След това изучавайки тази система чрез методи, разработени от други математици много преди него, Волтера получава описание и обяснение на много явления, наблюдавани в дългата история на риболова в Италия, като странни колебания в размера на улова на сардини (и следователно общия им брой).
Този пример показва друга идея за моделиране - известно опростяване, изхвърляне на ненужна, ненужна информация. Тук това са предположенията за еднаквост на индивидите, еднаква вероятност за техните срещи, еквипотенциалност за създаване на потомство. Изглежда се абстрахираме от конкретна сардина и само подчертаваме