Резюме Н

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА БЪЛГАРИЯ

МОСКОВСКИЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИ ИНСТИТУТ

Факултет по мениджмънт и приложна математика

D P L O M N Y R O T A

на тема: “Математическо моделиране на течения на двуфазен слабо свиваем флуид в нехомогенна пореста среда”

Студент гр. 571

кандидат на физико-математическите науки,

2. Капилярно налягане и фазови пропускливости в двуфазен случай………………...7

1.Използване на изрични схеми за симулиране на процеса на двуфазна филтрация……………………………………………………….10

2.Математическа формулировка на двуфазна задача. 12

2.1 Система от уравнения..12

1. Алгоритъм за решение в случай на разпространение на замърсяване в хомогенна среда (двуизмерна област)….14

2. Метод на Нютон. …. 15

3. Алгоритъм за решение в случай на нехомогенна среда (двумерна област)..17

2.1 Условия на интерфейса….18

2.2 Разделяне на изчислителната област на групи от възли….19

§5. Резултати от изчисленията. 25

1. Проникване на петно от замърсяване в хомогенна среда. 25

2. Изтичане на петно от замърсяване в среда снископропускливалеща………………………………………………………………..….….28

Теорията на филтрацията, която изучава законите на движение на течности, газове и техните смеси в пореста или фрактурирана среда, има широки практически приложения. Изчисленията на филтрацията играят изключително важна роля в развитието на технологиите за производство на нефт и газ, в проектирането, изграждането и експлоатацията на хидравлични и рекултивационни съоръжения, в минното дело и при решаването на екологични проблеми.След като не са загубили значението си в продължение на много десетилетия, проблемите на филтрацията стават още по-актуални.

По-специално теорията на филтрацията може да се използва за моделиране на процеси, свързани със замърсяването на почвата. Замърсяването на почвата с нефтопродукти или по-плътни вещества е едно от най-опасните, тъй като коренно променя свойствата на почвата и почистването им е много трудно. Замърсителите попадат в почвата при различни обстоятелства: по време на проучване и добив на нефт, при аварии на нефтопроводи, при аварии на речни и морски танкери. Различни въглеводороди влизат в почвата в нефтени депа, бензиностанции и др. Последствията за почвите, причинени от замърсяването, без преувеличение могат да бъдат наречени екстремни. Замърсителят обгръща почвените частици, почвата не се навлажнява с вода, микрофлората умира, растенията не получават правилно хранене. Накрая частиците на почвата се слепват, а самото вещество постепенно преминава в друго състояние, фракциите му се окисляват, втвърдяват се и при високи нива на замърсяване почвата прилича на асфалтоподобна маса. Много е трудно да се справим с подобно явление. При ниски нива на замърсяване помага прилагането на торове, които стимулират развитието на микрофлората и растенията. В резултат на това маслото се минерализира частично, някои от неговите фрагменти се включват в състава на хумусните вещества и почвата се възстановява. Но при високи дози и дълги периоди на замърсяване настъпват необратими промени в почвата. Тогава най-замърсените слоеве трябва просто да бъдат отстранени.

Тази работа е посветена на проблема със замърсяването на почвата. Разглежда се двумерен флуиден поток през пореста среда във вертикален слой под въздействието на гравитацията. Към замърсителитевключват минерални горива, разтворители, почистващи агенти (такива вещества се наричат NAPL - от английското Non-Aqueous Phase Liquids) [3]. В зависимост от това как плътността на веществото корелира с плътността на водата, NAPL се разделят на леки и плътни (първите се наричат Light NAPL или LNAPL, тяхната плътност е по-малка от плътността на водата; вторите са съответно Dense NAPL или DNAPL, тяхната плътност е по-голяма от плътността на водата). Бензинът например принадлежи към първия вид, а тетрахлоретиленът - към втория. Тези течности не се смесват с вода и газ, поради което при моделиране на потока им в почвата се говори за многофазна филтрация.

В тази статия се разглежда двуфазна филтрация на слабо свиваеми течности. Първата фаза е вода, с която първоначално се пълни резервоарът, втората фаза е по-плътна течност, която по-долу ще наричаме DNAPL.

В работата бяха решени няколко тестови задачи. Двуизмерен проблем за просмукване на плътна течност през леща с ниска пропускливост с различни гранични условия и мощности на източника DNAPL. Във всички задачи се приема, че средата е разнородна, т.е. състои се от слоеве с различна порьозност и пропускливост. Тъй като на границата между различните материали има разлика в свойствата на средата, а именно абсолютна пропускливост и порьозност, на тази граница трябва да се зададат специални условия на интерфейса, за да се осигури физически правилно решение.

Тъй като процесът на просмукване не отнема много време и се случва в сравнително малко пространство само под въздействието на гравитацията, влиянието на капилярните ефекти трябва да се вземе предвид при симулацията.

За решаване на задачи от този тип има няколко подхода в зависимост от вида на уравненията, които формират математическия модел. Традиционенподходи, като например метода IMPES, считат филтриращите течности за несвиваеми и системата от уравнения за моделиране на филтрацията в този случай съдържа елиптично уравнение за налягане. В тази статия течностите се считат за слабо компресируеми. В този случай обикновено се използва система от уравнения от параболичен тип за описание на процесите на филтриране. Въпреки това, този тип уравнение има доста строги ограничения за времевата стъпка. В работата е направен преход към хиперболична система от уравнения, подобна на работите [5] и [6], която има по-меки ограничения върху времевата стъпка. За числена реализация се използва изрична трислойна схема с крайни разлики.

Основната цел на работата е да се разработят алгоритми за решаване на проблеми с просмукване в почвата със слоеста структура (различна пропускливост и порьозност) и да се изследва еволюцията във времето на зоната на замърсяване на почвата.

1. Общ модел.

Подземните пространства, в които протичат хидродинамични процеси, са по правило порести и напукано-порести тела, характеризиращи се със сложна система от пори, канали, пукнатини, чиито размери са малки в сравнение с характерните размери на средата и през които може да тече течност и (или) газ. Потокът през такива порести тела, при който силата на триене на течността (течност, газ) върху скелета играе решаваща роля, се нарича филтрация. В тази работа се извършва симулация на многофазна филтрация на несвиваеми несмесващи се течности. Под многофазна филтрация се разбира съвместният поток на два или повече флуида през пореста среда. Количествената характеристика на порьозността е отношението на обема на порите към общия обем:

(къдетоm-коефициент на порьозност,Vn- обем на порите,V–общия обем на този елемент от средата).

Фазата е част от система, която е хомогенна (всички нейни компоненти имат еднакви физични и химични свойства). Физичните или химичните свойства на фазите на многофазна (хетерогенна) система са различни. Основните характеристики на движението на многофазна система са степента на насищане и филтрация на всяка от фазите.

НаситеносттаSiна пространството на поритеi-та фаза е частта от обема на порите, заета от тази фаза в елементарния обем:

. (1.1)

Така вn-фазова система има (n-1) независимо насищане. Следователно при моделиране на двуфазна филтрация се взема предвид само едно насищане.

Концепцията за скоростта на филтриране играе централна роля в теорията на филтрацията. Скоростта на филтриране наi-тата фаза в дадена точка е вектор, така че обемът на тази фаза, протичащ за единица време през елемент с ориентирана площ, разположен в тази точка, включително пространството на порите и скелета, е равен на . С други думи, проекцията върху определена посока е равна на съотношението на обемния дебит на тази фаза към площта, перпендикулярна на определената посока:

Приема се, че е валиден обобщеният закон за филтриране на Дарси [4], който заi-та фаза, като се вземе предвид гравитацията, може да се запише като:

(1.2)

къдетоkе една от феноменологичните характеристики на пореста среда, наречена абсолютна пропускливост, определена от данните за филтриране на хомогенна течност и не зависи от свойствата на течността; μi– коефициент на динамичен вискозитет на фазите;ki(Si) – относителни фазови пропускливости, определени експериментално;Pi– налягане във фази;ρi–фазова плътност; е векторът на ускорението на свободното падане;Si– наситеност на дадената фаза.

За да се промени насищането на определена фаза с времето по време на филтриране, може да се получи уравнение за непрекъснатост, подобно на уравнението за непрекъснатост за нормален поток на течност или газ (извън пореста среда). Да разгледаме някакъв обем Ω на поресто тяло. Течната маса в този обем е

Масата на течността се променя поради потока на течността през границата ∂Ω, така че

Тогава приемаме, че скелетът е неподвижен

и поради произвола на обема Ω стигаме до уравнението за непрекъснатост

Ако порьозносттаmна тази среда е постоянна, тогава получаваме следните уравнения за насищане на фазите

(1.3)

Което води до класическия модел на филтриране за многофазен слабо свиваем флуид:

където е плътността на флуида, е налягането, е скоростта на филтриране, Kiи biса съответно коефициентите на пропускливост на почвата и свиваемост на флуида

2. Капилярно налягане и относителни пропускливости в двуфазен случай.

За проблеми, свързани с моделиране на резервоар, например при моделиране на производството на нефт чрез изместване на водата, където времето се измерва в години, а разстоянията в километри, ефектът на капилярните сили върху разпределението на налягането е незначителен и може да бъде пренебрегнат. Въпреки това, при малки размери на филтрационната зона и ниски скорости на филтриране, капилярните сили могат да надвишат външния спад на налягането и трябва да се вземат предвид [5]. Капилярните ефекти се дължат на междумолекулни взаимодействия на две различни фази. Тези сили водят до появата на ъгъл на намокряне на границата между две фази и до прекъсване на налягането на тази граница. Разликата в фазовото налягане е така нареченотокапилярно налягане:

(1.4)

къдетоP2 е налягането на ненамокрящата фаза иP1 е налягането на намокрящата фаза. Течност с контактен ъгъл θ –1 1