Собствени стойности
1. Въведение
Редица инженерни проблеми се свеждат до разглеждането на системи от уравнения, които имат уникално решение само ако е известна стойността на някакъв параметър, включен в тях. Този специален параметър се нарича характеристика или собствена стойност на системата. Един инженер среща проблеми със собствените стойности в различни ситуации. По този начин, за тензорите на напрежение, собствените стойности определят основните нормални напрежения, а собствените вектори определят посоките, свързани с тези стойности. В динамичния анализ на механичните системи собствените стойности съответстват на естествените честоти на вибрациите, а собствените вектори характеризират режимите на тези вибрации. При изчисляване на конструкции, собствените стойности позволяват да се определят критичните натоварвания, чието превишаване води до изкълчване.
Изборът на най-ефективния метод за определяне на собствени стойности или собствени вектори за даден инженерен проблем зависи от редица фактори, като типа на уравненията, броя на търсените собствени стойности и тяхното естество. Алгоритмите за решаване на проблеми със собствените стойности се разделят на две групи. Итеративните методи са много удобни и много подходящи за определяне на най-малките и най-големите собствени стойности. Методите за трансформации на подобие са малко по-сложни, но те позволяват да се определят всички собствени стойности и собствени вектори.
В тази статия ще разгледаме най-често срещаните методи за решаване на проблеми със собствените стойности. Въпреки това, първо даваме малко основна информация от теорията на матричното и векторно смятане, на която се основават методите за определяне на собствените стойности.
2. Някаква основна информация, необходима при решаване на задачи за собствени стойности
Най-общо проблемът със собствените стойности се формулира по следния начин:
където A е n x n матрица. Изисква се да се намерят n скаларни стойности и собствени векториX,, съответстващи на всяка от собствените стойности.