tensors_eucl_space.doc

§18. Тензори в евклидовото пространство.

1º. Фундаментален метричен тензор.

Дефиниция 1. Свържете всеки базис

с матрицата на Грам

, където

, на този базис. Тензорът

от тип

, дефиниран от това, се нарича основен метричен тензор на пространството.

Д.З. Докажете, че

е тензор от тип

В примера, обсъден в 1º, беше показан параграф 16. Че компонентите на матрицата

дефинират тензор от тип

с компоненти

Д.З. Докажи отново.

Дефиниция 2. Тензор с

компоненти се нарича контравариантен метричен тензор. Поради симетрията на

, имаме, че

също е симетричен.

2º. Повишаване и понижаване на индекси.

Когато индексът е пропуснат, тензор от тип

се свързва с тензор от тип

, получен чрез сгъване на този тензор с ковариантен метричен тензор при индекса, който искаме да пропуснем.

Например

Когато индексът се повиши, даденият тензор се свива с контравариантния метричен тензор при индекса, който трябва да се повиши. Резултатът ще бъде тензор от тип

Например

3º. Евклидови тензори.

Когато изучавате евклидовото пространство, можете да се ограничите до разглеждането на ортонормалните бази. Тогава матриците на прехода в този случай са ортогонални, т.е. отговарят на отношението

, т.е. ако

, тогава

. Следователно законът за трансформация на компонентите на тензора е записан във формата Знакът

се използва тук, тъй като е нарушено правилото за сумиране на тензора:

винаги горни индекси, отляво

е горният индекс, отдясно е долният индекс. Това означава, че последното равенство не е инвариантно: то е валидно само в ортонормирани бази.

Тъй като в ортонормална основа

, тогава в ортонормалната основа компонентите на тензорите съвпадат, различавайки се един от друг чрез повишаване или понижаване на индекса, наистина

. Имайте предвид, че редът, в който се разглеждат индексите, е важен.

От казаното следва, че ограничавайки се до ортонормална основа, можем да идентифицираме всички тензори, получени един от друг чрез повишаване или понижаване на индекса. Наборът от такива еквивалентни тензори се нарича Евклидов тензор.

Евклидовият тензор се определя от валентност

и всички индекси са въображаеми:.

Стойностите, които се запазват при преминаване от една ортонормална основа към друга, по-рано наричахме ортогонални инварианти. По този начин ортогоналните инварианти са евклидовите валентни тензори

Евклидовите тензори могат да бъдат сгънати, редуващи се и симетрични върху всяка двойка индекси.

Важен пример за евклидовия тензор е дискриминантният тензор, дефиниран за някакъв ортонормален базис чрез равенството:

При преминаване към друга основа имаме:

, т.е. показа, че компонентите на дискриминантния тензор са еднакви във всички ортонормални бази със същата ориентация с оригиналните и се различават по знак в бази с противоположна ориентация.

За неортонормални бази евклидовите тензори се разширяват.

4. Контравариантни и ковариантни векторни компоненти.

Да разгледаме контавариантен вектор от тип