Теория на множествата – произведение на множествата
2.3.A. Комплект продукт
При дадени две множества, E и F, [директният или декартов] продукт на множеството E × F е множеството, образувано чрез вземане на всички възможни двойки елементи, първият от E и вторият от F. Всяка двойка е елемент от множеството E × F , което ще бъде записано като . Елементите нямат значима последователност в E × F, но в самата двойка последователността е важна: ˂ e , f ˃ не е равно на ˂ f , e ˃ в случай, че e ≠ f .
Продуктът на множествата може да бъде представен като таблица, например:
Теория на множествата за механизма и хомеостазата
в който трябва да се знае напълно посоката: кой множител е първият и кой вторият.
3 A.1 ∈ E × F ⇔ e ∈ E и f ∈ F .
3A.2 ∈ E × F ⇔ ∈ F × E .
3A.3 (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
3A.4 (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).
3A.5 ако A ⊂ E и B ⊂ F : ¬ ( A × B ) = (¬ A × F ) ∪ ( E × ¬ B ).
3A.6, ако A × B ≠ < >, тогава A × B ⊂ C × D ⇔ A ⊂ C и B ⊂ D .
Продуктите от повече от два комплекта се дефинират по подобен начин, като
3 A.7 ∈ E × F × G ⇔ e ∈ E и f ∈ F и g ∈ G .
3A.8 > ∈ E × ( F × G ) ⇔ e ∈ E и ˂ f , g ˃ ∈ F × G .
Когато има много набори, те могат да бъдат удобно индексирани като ( E 1 , E 2 , E 3 , … ако индексите са числови), или по-общо, когато индексите могат да бъдат произволен набор като ( E i ) i ∈ I , където I е наборът от индекси с изброен елемент i . Продуктът на такова множество може да се запише като Π i ∈ I E i .
Продуктът от множества има свойствата на система с принципно ново качество, което не се свежда до свойствата на оригиналните множества.
Нека представим множеството като някакъв ограничен масив от положителни цели числа, да кажем. В този случай произведението на две множества ще представлява ограничена област в първия квадрант на правоъгълната координатна система с брой елементи, равен на 81 (9 × 9).
За първоначалните набори от служители на дадено предприятие и длъжностите в неговия списък с персонал продуктът на тези два набора ще бъде набор от възможни комбинации от конкретни хора и техните позиции. Елементите на комплекта са конкретните позиции на служителите в предприятието.
Концепцията за произведение на множества е от особено значение за разбирането на проблемите на контрола. Представете си например предприятие, което заема определена позиция на пазара и се стреми да заеме друга, по-„силна“ позиция.
За да можете да направите това целенасочено, е необходимо да се извърши анализ под една или друга форма, представяйки текущото състояние на предприятието като резултат от набор от различни важни фактори, например качеството на неговите продукти, персонал, финансови условия, състав на клиенти и конкуренти. В този изглед текущата позиция на предприятието съответства на единичен елемент от възможен набор, определен от дадена комбинация от фактори. Търсенето, отчитането, промяната и контролът на необходимите и достатъчни елементи от важни фактори като цяло съставлява изкуството на управлението.
Тук е необходимо да се подчертае, че позицията на предприятието на пазара недвусмислено съответства на произведението на наборите от изходни фактори, но не е така. С други думи, необходимо е ясно да се раздели значението на понятията продукт на множества и картографиране.