Уравнение на хармоничния баланс
Нека съставим уравнение по структурната схема на системата за управление в каноничния вид фиг. 1, използвайки сложната нотация за хармоничен сигнал ( ) и очевидната връзка x =- y. Тогава получаваме съотношението:
(тридесет)
Намаляваме с фактор, който не е равен на нула и получаваме:
(31)
Това уравнение се наричауравнение на хармоничния баланс.
Ако е възможно да се намерят две реални числа A=A0 и ω=Ω, които превръщат уравнение (31) в идентичност, тогава, съгласно горните разсъждения, в системата се извършват автоколебания с почти хармонична форма с честота Ω и амплитуда A.
Подчертаваме, че нямаме работа с математическо доказателство, а само с правдоподобни разсъждения!
Ако нелинейният елемент в оригиналната система бъде заменен от хармоничното усилване, тогава нелинейната система ще се превърне в някаква линеаризирана система, съдържаща пропорционална връзка вместо нелинеен блок. С други думи, може да се разглежда като известна печалба, най-общо казано, комплексна.
Тази линеаризирана система е, по условието, на границата на стабилност, защото в него циркулира хармонична вибрация. Този факт е отразен от уравнението на хармоничния баланс, което може да се разглежда като уравнението на границата на стабилност на линейна система с усилване.
Уравнение (31) се решава удобно графично, като преди това се преобразува в отношението:
(32)
Или във връзка:
(33)
На комплексната равнина са построени две графики, едната от които е дигитализирана по амплитуда, а другата по честота. В точката на пресичане на тези графики, ако има такова, чрез дигитализиране на кривите определяме стойността на A и Ω.
Наистина можесобствените колебания се извършват само ако са стабилни. Като критерий за стабилност, разбира се, много приблизителен, ние използваме следното разсъждение, което е обобщение на критерия на Найкуист, за случая, когато усилването е сложно. Точка -1 ще бъде заменена с точка (съгласно приетата нотация J(A0)). Точката J(A0) е на кривата W(jω), т.е. хармоничната линеаризирана система е на границата на устойчивост. Да приемем, че амплитудата се е увеличила от A0 до A1. Ако точката J(A1) е извън кривата W(jω), тогава линеаризираната система е стабилна и трептенията са затихнали. Ако точката J(A1) се движи вътре в кривата, т.е. ще бъде покрита от W(jω), тогава, следователно, системата ще стане нестабилна и амплитудата A ще се увеличи още повече. По този начин можем да формулираме следния приблизителен критерий: ако точката J(A) се измества извън кривата W(jω) с увеличаване на амплитудата, тогава автоколебанията са стабилни. В случай, че с увеличаване на амплитудата точката J(A) се измества вътре в кривата W(jω), тогава трептенията са нестабилни.
Някои свойства на уравнението на хармоничния баланс.
Нека го запишем в експоненциална форма.
(34)
Съгласно (34) уравнението на хармоничния баланс може да се пренапише под формата на система от уравнения (уравнения за модули и уравнения за фази).
Фазово уравнение: (35)
Важен извод следва от уравнението на хармоничния баланс, записано във формата (35).
Ако нелинеен елемент в системата е недвусмислен, тогава честотата на собствените трептения изобщо не зависи от неговата форма и се определя изцяло от линейната част.
Това свойство следва от факта, че за еднозначна функция N(x) хармоничното усилване е реално (q'(A) = 0, θ(A) = 0).