Урок 10 Диференциално биномно интегриране

1.5.10. Интегриране на диференциален бином

Интеграл от диференциален бином

къдетоm,nиp-рационални числа, може да се сведе до интегриране на рационални функции само в следните три случая (теорема на Чебишев):

Случай 1. Некаpе цяло число. След това поставяме

, къдетоNе общият знаменател на дробиmиn.

Случай 2. Нека

е цяло число. След това поставяме, къдетоNе знаменателят наp.

Случай 3. Нека

е цяло число. След това прилагаме заместването, къдетоNе знаменателят на дробтаp.

Ако

, тогава тези случаи са еквивалентни на следното:

№1985

=нека пренапишем интегранта като диференциален бином

=сега е ясно, че. Нека се уверим, че този диференциален бином принадлежи към един от трите посочени случая.Проверката показа, че заместванетоще доведе до рационална форма на интегранта. Наистина,

=

=

=

,и проблемът се сведе до намирането на интеграла на правилна рационална дроб, която трябва да бъде представена като сбор от елементарни дроби.===Търсенето на интеграли на тези елементарни дроби е добре позната задача.

==

+

=

= =

=

№ 1981, 1983, 1989 са решени по подобен начин.

Домашна№№ 1982, 1986, 1988.

---