Вътрешен автоморфизъм Уикипедия
Вътрешният автоморфизъме вид групов автоморфизъм, дефиниран от гледна точка на фиксиран елемент от групата, нареченсъвпадащ елемент. Формално, акоGе група иaе елемент от групатаG, тогава вътрешният автоморфизъм, дефиниран от елементаa, е преобразуванетоfотGв себе си, дефинирано за всичкиxотGпо формулата
Тук използваме конвенцията, че груповите елементи действат отдясно.
Операциятаx↦a−1xaсе наричаконюгиране(вижте също „Клас на конюгиране“) и често е интересно да се разграничат случаите, когато конюгирането с един елемент оставя друг елемент непроменен от случая, когато конюгирането трансформира елемент в друг елемент.
Всъщност да се каже, че спрежението наxсaоставяxнепроменено е еквивалентно на това да се каже, чеaиxкомутират:
По този начин съществуването и броят на вътрешните автоморфизми, които не са идентични, служат като мярка за комутативност в група.
Автоморфизъм на групаGе вътрешен тогава и само ако е разширен във всяка група, съдържащаG[1] .
Съдържание
Нотация
Изразътa−1xaчесто се записва като степенx a. Тази нотация се използва, защото правилото е (x a)b=x ab.
Всеки вътрешен автоморфизъм е, разбира се, автоморфизъм на групатаG, тоест биективно преобразуване отGкъмG. Това също е хомоморфизъм, което означава (xy)a=x a y a.
Автоморфизми на вътрешна и външна група
Съставът на два вътрешни автоморфизма е отнововътрешен автоморфизъм (както беше споменато по-горе — (x a)b=x ab) и множеството от всички вътрешни автоморфизми на групатаGсамо по себе си е група (групата от вътрешни автоморфизми на групатаG) и се означава с Inn(G) .
Групата от външни автоморфизми отразява, в известен смисъл, колкоGавтоморфизми са вътрешни. Всеки невътрешен автоморфизъм дава нетривиален елемент от групата Out(G) , но различни невътрешни автоморфизми могат да дадат същите елементи от групата Out(G) .
Свързвайки елементаa∈Gс вътрешния автоморфизъмf(x) =xa в групата Inn(G), както по-горе, получаваме изоморфизъм между фактор групитеG/Z(G) (където Z(G) е центърът на групатаG) и групата на вътрешните автоморфизми:
Това е следствие от първата теорема за изоморфизъм, тъй като Z(G) е точно множеството от тези елементи наG, които дават картата на идентичност, когато се използват за създаване на вътрешен автоморфизъм (конюгацията не променя нищо).
Невътрешни автоморфизми на крайниp-групи
Резултат от Wolfgang Gaschütz казва, че ако групаGе крайна и е неабелеваp-група, тогаваGима автоморфизъм от редpдо известна степен, който не е вътрешен.
Отворен проблем е дали всяка неабелеваp-групаGима автоморфизъм от редp. На въпроса се отговаря с „да“, акоGотговаря на едно от следните условия:
Видове групи
Групата на вътрешните автоморфизми Inn(G) е тривиална (т.е. състои се само от неутрален елемент) тогава и само ако групатаGе абелева.
Лесно е да се покаже, че Inn(G) може да бъдециклична група само когато е тривиална.
Вътрешните автоморфизми могат да съставляват цялата група автоморфизми. Група, за която всички автоморфизми са вътрешни и чийто център е тривиален, се нарича пълна. Това важи за всички симетрични групи сnелементи, когатоnне е равно на 2 или 6. Акоn= 6, симетричната група има единичен нетривиален клас от външни автоморфизми и заn= 2 симетричната група, въпреки че няма външни автоморфизми, е абелева, което дава нетривиален център и следователно групата не може да бъде пълна.
Нека групатаGсъвпада с нейната производна подгрупа (в английската терминология перфектна група [en] ). Ако групата на нейните вътрешни автоморфизми Inn(G) е проста, тогава такава групаGсе нарича квазипроста [en] .
калъф за пръстен
При даден пръстенRи единицаuотR, преобразуванетоf(x) =u−1xuе автоморфизъм на пръстенаR. Пръстенови автоморфизми от този вид се наричат вътрешни автоморфизмина пръстенаR. Тези автоморфизми образуват нормална подгрупа на групата автоморфизми на пръстенаR.
Случаят на алгебрите на Ли
Автоморфизъм на алгебра на Ли 𝔊 се нарича вътрешен автоморфизъм, ако има формата Adg, където Ad е присъединената карта иgе елемент от групата на Лие, чиято алгебра е равна на 𝔊 . Нотацията за вътрешен автоморфизъм на алгебри на Ли е съвместима с нотацията за групи в смисъл, че вътрешен автоморфизъм на група на Лие генерира уникален вътрешен автоморфизъм на съответната алгебра на Ли.