1 - УМКД_Физическая_електроника_ч.3_Цветков - Лекций - Лекция

Адиабатни инварианти за движение на частици в магнитно поле

Инвариантност на магнитния момент на частица във времето,инвариантност на частица в магнитно поле, постоянно във времето и нехомогенно в пространството, инвариантност на стойността vl

Фиг.5.1. "Фазов портрет" на едномерен осцилатор

Както е известно от механиката, всяка механична система, която извършва ограничено движение, например математическо махало или товар, окачен на пружина, има траектория, която заема ограничена площ във фазовото пространство (в най-простия случай на едномерно движение това е равнината на обобщения импулс и обобщената координата, фиг.5.1). Ако енергията на тази система се запазва, тогава траекторията, съответстваща на дадената енергия W, е затворена. Областта, покрита от тази траектория, очевидно е точен интеграл от движението. Съществено е, че приблизителното запазване на тази област се осъществява и в случаите, когато енергията на системата се променя с времето под въздействието на някакво смущение (например слабо триене или промяна на дължината на махалото и т.н.), но това изменение е бавно в сравнение с периода на невъзмутимо движение. Сега тази област вече не е точен интеграл на движението и запазването се извършва само средно за периода на невъзмутимо движение. В този случай се говори за запазванена адиабатния инвариант. Като измерение тази площ е пропорционална на произведението на енергията на частицата, осреднена за период, и стойността на този период:

Следователно, ако периодът на движение намалява, когато някой параметър на системата се промени (например за математическо махало, периодът, както е известно, се определя от съотношението

ипериодът намалява с намаляване на дължината на махалото), тогава енергията му нараства средно.

Принципът на адиабатната инвариантност има важни приложения към проблема със задържането на плазмата - по необходимост траекториите на частиците трябва да са крайни. Нека разгледаме накратко някои приложения на този принцип за случай на движение на частици в магнитно поле.

Инвариантност на магнитния моментчастици във времето

Ако заредена частица се движи в еднообразно, но променящо се във времето магнитно поле, тогава нейният Ларморов радиус и перпендикулярна скорост ще се променят. Това е така, защото електрическото поле, предизвикано от променящото се магнитно поле, ще ускори (или забави) частицата.

Нека изберем цилиндрична координатна система, така че векторът на магнитното поле да е успореден на оста z на тази система (виж Фиг.5.2), тогава, където

е съответният единичен вектор.

От закона за индукцията

Замествайки тези полета в останалите уравнения на Максуел, намираме това

Следователно уравненията на Максуел се изпълняват идентично, когато се избира линейна зависимост на силата на магнитното поле от времето, така че:

където

е постоянна стойност (скоростта на изменение на полето), която може да бъде както положителна (полето се увеличава), така и отрицателна (полето намалява);

е началната стойност на полето.

Полученото решение на уравненията на Максуел е точно, но донякъде изкуствено: трудно е да си представим ситуация, при която магнитното поле расте в цялото пространство наведнъж. На практика често се използва приблизително решение, като се приема, че токовете, генериращи магнитното поле, се променят толкова бавно, че токовете на изместване (и следователно вълновият процес на установяване на полето) могатпренебрегване. Тогава

Фиг.5.3. Илюстрация на запазването на напречния адиабатен инвариант в слабо променливо, бавно осцилиращо полеB=B0(1+cost);- честота на Лармор,0- начална стойност

формули

приблизително описват разпределението на полетата за произволна зависимост B(t), бавно във времеви мащабиt

L/c, къдетоLе размерът на площта, заета от полето.

За да илюстрираме консервационниямагнитен момент илинапречен адиабатичен инварианткогато частица се движи в променливо магнитно поле, ние се ограничаваме до грубо приближение, като приемаме, че радиалната скорост е идентично равна на нула и радиусът на орбитата е постоянен. В това приближение уравненията на движението се свеждат до вида

и, както не е трудно да се провери, те дават връзката

Това означава, че съотношението

Грубото приближение, използвано по-горе, изобщо не е необходимо. Подробните изчисления показват запазване нав общия случай при условията на приложимост на адиабатното приближение. За да илюстрира "качеството" на запазване, Фигура 5.3 показва резултатите от точни числени изчисления на този параметър за определен тип осцилиращо поле.

инвариантностчастици в магнитно поле, постоянно във времето и нехомогенно в пространството

Фиг.5.4. Изхвърляне на заредена частица от нехомогенно магнитно поле.

Когато полетоВе постоянно във времето, но бавно се променя в пространството, тогава когато една частица преминава от слабо поле към по-силно, върху нея действа сила (фиг.5.4.):

; (5.1)

. (5.2)

След трансформация по траекторията получаваме

. (5.3)

Тъй като пълененергията се запазва при движение в магнитно поле

; (5.4)

което е възможно само ако

Допуснатата неточност по време на извеждането в този случай се дължи на факта, че променитеBв перпендикулярна посока не са взети предвид. Това е приемливо само при бавна промяна. Обобщавайки уравнения (5.1) и (5.5), можем да кажем, че магнитният момент е адиабатен инвариант на движението на заредена частица в бавно променящо се магнитно поле.

От това могат да се направят няколко интересни извода. От съвсем очевидни алгебрични изчисления

следва, че магнитният поток, проникващ в кръга на Лармор, е адиабатично постоянен. Това обстоятелство води до заключението, че при промяна на магнитното поле радиусът на Лармор се променя според закона:

много по-бавно, отколкото в случай на постоянна странична скорост.

тоест ъгловият импулс на частицата също остава адиабатично постоянен.

Помислете за движението на частица в кутия с еластични стени (Фигура 5.5). Нека скоростта на частица, насочена по дъното на кутията, еv,и една от стените на кутията се движи със скоростU

Фиг.5.5. Частица в кутия с подвижна стена.

При еластично отражение от движеща се стена, частицата ще промени скоростта си сv = 2U(ние смятаме, че масата на стената е безкрайна). Тогава промяната в скоростта на частицата при едно пълно трептене

От

получаваме

. (5,6)

Приближаващите стени увеличават скоростта на частицата.