§2. Непрекъснати функции върху затворени множества

Нека си припомним известните от курса на математическия анализ свойства на непрекъснатите функции, дефинирани върху затворено ограничено множествоFсRn.

Теорема 1 (1-ва теорема на Вайерщрас)

Функцияfнепрекъсната върху затворена граница

множествотоFcRnе ограничено върху него.

Теорема 2 (2-ра теорема на Вайерщрас)

Функцияfнепрекъсната върху затворена граница

наборFсRn, достига своите максимални и минимални стойности върху него.

Функциятаf, която е непрекъсната върху затворено ограничено множество, е равномерно непрекъсната върху него.

Доказателства могат да бъдат намерени в литературата по математика. Нека установим и нови резултати.

Функциятаfе непрекъсната върху затворено множествоFсRnтогава и само ако "aeRмножестваf(x) a> са затворени (xeF).

(xmLn CExm® x 0.F3-MKH Y T0, след това x 0 eF.

Същото важи и за другия комплект.

§3. точки на прекъсване

Има различни класификации на точките на прекъсване. В теорията на функциите най-прието е следното:

1. Ако съществуват и двете едностранни границиf(x0 + 0),f(x0-0), дори безкрайни, то това е прекъсване от 1-ви вид.

2. Ако поне една от едностранните граници не съществува, тогава това е точка на прекъсване от 2-ри род.

'0;x0 има прекъсване от 2-ри вид в точкатаx0= 0,

Нека разгледаме някои факти, свързани с точките на прекъсване.Теорема 1

Нека функциятаfе дефинирана върху затвореното множествоFсRn. ЗадайтеAe=: w(x,f)>e>затворен "e > 0.

Нека x е граничната точка на множествотоAe.

Интересен е следният резултат.

Множеството от точки на прекъсване на функция, дефинирана върху затворено множествоFсRn, е обединението на най-много изброим брой затворени множества.Доказателство

Множеството от точки на прекъсване на функциятаfще бъде означено сA.

Нека покажем, чеA= u Aj. Доказваме го като равенство

ТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА РЕАЛНА ПРОМЕНЛИВА 2

ТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА РЕАЛНА ПРОМЕНЛИВА 3

РЕЗЮМЕ НА ЛЕКЦИЯТА 3

( A \ D) n ( A \ Ar ) = 0 ( d \ Ar ) n ( a \ Az )=0 23

2o Ако A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Вземете набор от точки 0 = x0 x x 0

Нека покажем, че limf(х) =m.

По подобен начин показваме, че f(x0+ 0) =m. В този случайf(x0± 0) съществуват, те са крайни. Акоx0е точка на прекъсване, тогава тя е от 1-ви вид с краен скок.

Ако отляво наx0във всяка от неговите околности има само краен набор от точки отX, а отдясно е безкраен или обратното, т.е. в достатъчно малка околност има точка отXсамо от едната страна, тогава x е точка на отстраним прекъсване.

По този начин точката на прекъсване на монотонна функция, ако има такава, е само от 1-ви род и с краен скок:f( x + 0) -f(x0 - 0).

Нека установим кардиналността на множеството точки на прекъсване на монотонната функция. Като вземем предвид нашите по-нататъшни нужди, ние се ограничаваме до случаяX= [a; b].

Наборът от точки на прекъсване на монотонна функция, дефинирана върху[a; b]е най-много изброимо.

Нека напримерfсе увеличи. Известно е, че мнозина

или празен: няма повече елементи от (f (b)- f (a)):

—. След товаAкато обединение на изброимо число най-многоm

крайните множества са най-много изброими.Теоремата е доказана.

Този резултат може да се обобщи за случая на по-общо множествоX.А именно, вярно е следното:

Ако функциятаfе монотонна и ограничена в множествотоX cR,тогава"e> 0 множествотоAeе най-много ограничено.

Множеството от точки на прекъсване на функция, която е монотонна и ограничена в множествотоX cR,е най-много изброимо.

Множеството от точки на прекъсване на функция, която е монотонна в множествотоX cR,е най-много изброимо. Вижте [4] за доказателството.

---