36. Поток от събития
Дефиниция.Поток от събитияе поредица от събития, случващи се едно след друго в определен момент от време.
Природата на събитията, които образуват потока, може да бъде различна и ако събитията се различават едно от друго само по момента, в който се случват, тогава такъв поток от събития се наричаХомогенен.
Хомогенният поток може да бъде представен чрез последователност от точки на оста, съответстващи на времето:
Дефиниция.Поток от събития се наричаРедовен, ако събитията следват едно след друго на строго определени интервали.
Дефиниция.Поток от събития се наричаСтационарен, ако вероятността определен брой събития да попаднат във времеви интервал t зависи само от дължината на сегмента и не зависи от това къде точно се намира този сегмент на оста.
Стационарността на потока от събития означава, че плътността на потока е постоянна, няма периоди от време, през които да има повече събития от обикновено. Класически пример е „часът пик” в транспорта.
Дефиниция.Поток от събития се наричаПоток без последствия, ако за всеки неприпокриващ се интервал от време броят на събитията, падащи на един от тях, не зависи от броя на събитията, падащи на други.
Липсата на последствия означава, че приложенията влизат в системата независимо едно от друго. Изходният поток на системите за масово обслужване обикновено има последействие, дори ако входният поток няма. Такъв пример е влизането на пътници в метростанция - поток без последващо действие, тъй като причините за пристигането на отделен пътник не са свързани с причините за пристигането на всички останали, а излизането на пътници от станцията е поток с последващо действие, тъй като се дължи на пристигането на влака.
последействие,характеристика на изходния поток трябва да се вземе предвид, ако този поток от своя страна е вход към друга система.
Дефиниция.Поток от събития се наричаОбикновен, ако вероятността две или повече събития да попаднат на елементарния сегмент DTе достатъчно малка в сравнение с вероятността за постигане на едно събитие.
Условието за обикновеност означава, че заявките за системата идват една по една, а не по двойки, тройки и т.н. Ако обаче заявките пристигатСамопо двойки,Самопо тройки и т.н., тогава такъв поток може лесно да бъде намален до обикновен.
Определение.Ако потокът от събития е неподвижен, обикновен и без последствия, тогава такъв поток се наричаНай-прост (Поасон)поток.
Това име се дължи на факта, че в този случай броят на събитията, попадащи във всеки фиксиран интервал от време, се разпределя според разпределението на Поасон.
В съответствие с този закон за разпределение, математическото очакване на броя на точките, които попадат във времевия интервал t, има формата:
L - плътност на потока - среден брой събития за единица време.
Вероятността точноTсъбития да се случат за време t е равна на
Вероятността да не се случи нито едно събитие в рамките на даден период от време е:
Нека T е интервалът от време между две произволни съседни събития в най-простия поток. Намерете функцията на разпределение
В съответствие със закона за разпределение на Поасон получаваме:
Математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на тази величина са съответно равни на:
Така за стойността на T се получава експоненциален закон на разпределение.
Пример.Едно сервизно бюро получава средно 12 заявки на час. Преброяване на потокана поръчки по най-простия, определете вероятността, че: а) няма да бъдат получени поръчки за 1 минута, б) не повече от три поръчки няма да бъдат получени за 10 минути.
Първо намираме плътността (интензивността) на потока, изразявайки я в броя на заявките в минута. Очевидно тази стойност е .
След това намираме вероятността за време t = 1 min да не бъдат получени заявления по формулата:
Вероятността да пристигнат не повече от три поръчки за 10 минути ще бъде сумата от вероятностите да не пристигнат никакви поръчки, да пристигнат една, две или точно три поръчки.
Пример.Средно 20 посетители на час пристигат в ресторант. Като се има предвид, че потокът от посетители е най-простият и знаейки, че ресторантът отваря в 11:00 часа, определете:
а) вероятността в 11.12 20 клиенти да дойдат в ресторанта, при условие че в 11.07 те са били 18
b) вероятността между 11:28 и 11:30 сутринта нов клиент да пристигне в ресторанта, ако е известно, че предишният клиент е пристигнал в 11:25 сутринта.
За да отговорите на първия въпрос, всъщност трябва да намерите вероятността точно 2 посетители да дойдат в интервала от 11.07 до 11.12 (t = 5 минути). В същото време знаем интензивността на потока посетители - l = 20/60 = 1/3 посетители в минута. Разбира се, тази стойност е условна, защото посетителите не могат да идват на части.
Желаната вероятност е равна на:
Сега да преминем към втория въпрос. Не ни се казва точно колко нови посетители ще има в интервала от 11.28 до 11.30, важното е да има поне един. Тази вероятност е . ТукР0(2) е вероятността да няма посетител в този интервал.
Ако потокът от събития е нестационарен, тогава неговата плътност l вече не е постоянна стойност, а зависи от времето.
Определение.Моментната плътностна потока от събития е границата на отношението на средния брой събития за елементарен интервал от време (T,T+DT) към дължината на този участък, която клони към нула.
Както може да се види от горната дефиниция, като се има предвид, че средният брой събития във времевия интервал е равен на математическото очакване, тогава можем да кажем, чеМоментната плътност на потока е равна на времевата производна на математическото очакване на броя събития в сегмента (0,T).
Определение.Нестационарен поток на ПоасонНарича се обикновен поток от хомогенни събития без последействие с променлива плътност l(t).
За такъв поток броят на събитията, попадащи на участък с дължина t, започващ от точкатаT0, се подчинява на закона на Поасон:
ТукAе математическото очакване на броя на събитията в участъка отT0доT+T0. Изчислява се по формулата:
СтойносттаAзависи не само от дължината на участъка t, но и от неговото положение във времето. Законът за разпределение на интервала T между две съседни събития също ще зависи от това къде се намира първото от събитията върху времевата ос, както и от функцията l(t) .
Вероятността да не се появи събитие в интервала отT0доT+T0е равна на
Тогава, съответно, вероятността за възникване на поне едно събитие в този интервал от време ще бъде равна на:
Плътността на разпределение може да се намери чрез диференциране:
Тази плътност на разпространение вече няма да бъде показателна. Зависи от параметъраT0и типа на функцията l(T). Въпреки това условието за липса на последействие при този вид поток се запазва.