Аксиома на Евклид за паралелизма, Еквивалентни формулировки на паралелния постулат - Доктрината на
Аксиомата на Евклид за паралелизъм илипети постулат е една от аксиомите, лежащи в основата на класическата планиметрия. Първо цитиран в Елементи на Евклид:
Евклид прави разлика между понятиятапостулатиаксиома, без да обяснява разликите им; в различни ръкописи на "Началата" на Евклид разделянето на твърденията на аксиоми и постулати е различно, както и редът им не съвпада. В класическото издание на Geiberg на Principia посоченото твърдение е петият постулат.
На съвременен език текстът на Евклид може да бъде преформулиран, както следва:
Ако сумата от вътрешните ъгли с обща страна, образувана от две линии в пресечната точка на тяхната трета, от една от страните на секущата, е по-малка от 180 °, тогава тези линии се пресичат и освен това от една и съща страна на секущата.
Петият постулат е изключително различен от другите постулати на Евклид, прост и интуитивно очевиден (виж Принципите на Евклид). Затова в продължение на 2 хилядолетия не спират опитите да се изключи от списъка на аксиомите и да се изведе като теорема. Всички тези опити завършиха с неуспех. "Вероятно е невъзможно да се намери по-вълнуваща и драматична история в науката от историята на петия постулат на Евклид." Въпреки отрицателния резултат, тези търсения не бяха напразни, тъй като в крайна сметка доведоха до пълна ревизия на научните представи за геометрията на Вселената.
Еквивалентни формулировки на постулата за паралелност
В съвременните източници обикновено се дава друга формулировка на постулата на паралелите, еквивалентна (еквивалентна) на постулата V и принадлежаща на Прокъл (в чужбина често се нарича аксиома на Playfair):
В равнина през точка, която не е на дадена права, може да се начертае една и само една права, успоредна на дадената права.
В товавъв формулировката на думата "един и само един" често се заменя със "само един" или "не повече от един", тъй като съществуването на поне един такъв паралел непосредствено следва от теореми 27 и 28 от Елементите на Евклид.
Като цяло постулатът V има огромен брой еквивалентни формулировки, много от които изглеждат доста очевидни. Ето някои от тях:
§ Има правоъгълник (поне един), т.е. четириъгълник с всички прави ъгли.
§ Има подобни, но не равни триъгълници (Аксиома на Уолис, 1693).
§ Всяка фигура може да бъде пропорционално увеличена.
§ Има триъгълник с произволно голяма площ.
§ Права, минаваща през точка вътре в ъгъл, пресича поне една от страните му (Аксиома на Лоренц, 1791).
§ През всяка точка вътре в остър ъгъл винаги е възможно да се начертае права, пресичаща двете му страни.
§ Ако две линии се разминават в една посока, то в другата те се събират.
§ Приближаващите се прави линии ще се пресичат рано или късно.
§ Вариант: перпендикулярът и наклонената на една и съща права линия със сигурност ще се пресичат (аксиома на Лежандре).
§ Точки, разположени на еднакво разстояние от дадена права (от едната й страна), образуват права,
§ Ако две линии започнат да се приближават, невъзможно е те след това да започнат (в една и съща посока, без да се пресичат) да се разминават (Аксиомата на Робърт Симсън, 1756).
§ Сборът от ъглите е еднакъв за всички триъгълници.
§ Има триъгълник, чиято сума от ъгли е равна на два прави ъгъла.
§ Две прави, успоредни на третата, също са успоредни една на друга (Аксиома на Остроградски, 1855 г.).
§ Права, която пресича една от успоредните прави, със сигурност ще пресича другата.
През всякакви три точки може да се начертае права линия илиили кръг.
§ Вариант: за всеки неизроден триъгълник съществува описана окръжност (Аксиома на Фаркас Бояй).
§ Валидна е Питагоровата теорема.
Тяхната еквивалентност означава, че всички те могат да бъдат доказани, ако се приеме V постулат, и обратното, като заменим V постулата с някое от тези твърдения, можем да докажем оригиналния V постулат като теорема.
Ако вместо постулата V приемем, че постулатът за двойката точка-линия V е неправилен, тогава получената система от аксиоми ще опише геометрията на Лобачевски. Ясно е, че в геометрията на Лобачевски всички горни еквивалентни твърдения са неверни.
Системата от аксиоми на сферичната геометрия също изисква промяна в други аксиоми на Евклид.
Петият постулат се откроява рязко от другите, съвсем очевиден, прилича повече на сложна, неочевидна теорема. Евклид вероятно е бил наясно с това и затова първите 28 изречения в Елементите са доказани без негова помощ.
„Евклид със сигурност трябва да е познавал различните форми на паралелния постулат.“ Защо избра намален, сложен и тромав? Историците спекулират относно причините за този избор. В.П. Смилга вярва, че Евклид с такава формулировка показва, че тази част от теорията е непълна. М. Клайн обръща внимание на факта, че петият постулат на Евклид ималокаленхарактер, т.е. той описва събитие в ограничен участък от равнината, докато например аксиомата на Прокъл потвърждава факта на паралелизъм, който изисква разглеждане на цялата безкрайна права линия. Трябва да се изясни, че древните математици избягват да използват действителната безкрайност; например, вторият постулат на Евклид не твърди безкрайността на линията, а само че "линията може да бъде непрекъснато удължена". СЪСот гледна точка на древните математици, горните еквиваленти на паралелния постулат може да изглеждат неприемливи: те или се отнасят до действителната безкрайност или (все още невъведената) концепция за измерване, или също не са много очевидни.