Аритметичен корен Версия за печат
За да разберем какво еаритметичен корен, ще решим проста задача за намиране на страната на квадрат, чиято площ е 9 cm 2. Ако приемем, че страната на квадрата е A cm, тогава съставяме уравнението според условията на задачата:
Дължината на страната на квадрата не може да бъде отрицателно число, така че желаната страна на квадрата е 3 cm.
При решаването на уравнението намерихме числата 3 и -3, чиито квадрати са 9. Всяко от тези числа се нарича квадратен корен от числото 9. Неотрицателният от тези корени, тоест числото 3, се нарича аритметичен корен от числото.
Съвсем логично е да приемем факта, че коренът може да се намери от числа до трета степен (кубичен корен), четвърта степен и т.н. И по принцип коренът е операцията, обратна на степенуването.
Коренът n-та степен от числото α е такова число b, където b n = α.
Тук n е естествено число, обичайно е да се наричаиндексът на корена (или степента на корена); обикновено е по-голямо или равно на 2, тъй като случаят n= 1 е тривиален.
Писмено символът (основният знак) от дясната страна се наричарадикал. Числото α ерадикален израз. За нашия страничен пример решението може да изглежда така: защото(±3) 2 = 9.
Получихме положителна и отрицателна стойност на корена. Тази функция усложнява изчисленията. За да се постигне уникалност, беше въведена концепцията зааритметичен корен, чиято стойност винаги е със знак плюс, тоест само положителна.
Коренът се наричааритметика, ако е получен от положително число и самият той е положително число.
Има само един аритметичен корен на дадена степен от дадено число.
Операцията на изчисленията обикновено се нарича "извличане на корен на n-та степен" от числото α. Всъщност ние извършваме операцията, обратна на степенуването, а именно намиране на основата на степен b от известния показател n и резултата от степенуването
Корените от втора и трета степен се използват на практика по-често от други и затова им бяха дадени специални имена.
Корен квадратен: В този случай показателят 2 обикновено не се записва, а терминът "корен" без посочване на степента най-често означава корен квадратен. Геометрично интерпретацията е дължината на страната на квадрат, чиято площ е α.
Кубичен корен: Геометрично, дължината на ръба на куб, чийто обем е равен на α, е.
Свойства на аритметичните корени.
1) Когато изчисляватеаритметичния корен от произведението, трябва да го извлечете от всеки фактор поотделно
2) За да изчислитекорена от дроб, трябва да го извлечете от числителя и знаменателя на тази дроб
3) При изчисляване накорена на степента е необходимо степента да се раздели на степента на корена
Първите изчисления, свързани с извличането на квадратен корен, са открити в трудовете на математиците от древен Вавилон и Китай, Индия, Гърция (няма информация за постиженията на древен Египет в това отношение в източниците).
Математиците от древен Вавилон (II хилядолетие пр.н.е.) са използвали специален числен метод за извличане на квадратния корен. Първоначалното приближение за квадратния корен беше намерено въз основа на естественото число n, което е най-близо до корена (надолу). Представяйки радикалния израз във формата: α=n 2 +r, получаваме: x0=n+r/2n, след което е приложен итеративен процес на прецизиране:
Итерациите в този метод се събират много бързо. За ,
Например α=5; n=2;r=1; x0=9/4=2,25 и получаваме поредица от приближения:
В крайната стойност всички цифри са правилни с изключение на последната.
Гърците формулират проблема за удвояването на куба, който се свежда до конструирането на кубичен корен с помощта на пергел и линейка. Правилата за изчисляване на всяка степен от цяло число са изучавани от математици в Индия и арабските държави. Освен това те са били широко развити в средновековна Европа.
Днес, за удобство при изчисляване на квадратни и кубични корени, калкулаторите се използват широко.