Билети за изпит "Линейна алгебра"
1. Концепцията за матрица. Видове матрици. Транспониране на матрица. Матрично равенство. Алгебрични операции върху матрици: умножение с число, събиране, умножение на матрици.
2. Детерминанти от 2-ри, 3-ти, m-ти редове. Теорема на Лаплас за разлагането на детерминантата по отношение на елементите на ред или колона.
3. Квадратна матрица и нейната детерминанта. Сингулярни и неособени квадратни матрици. Приложена матрица. Матрицата, обратна на дадената и алгоритъмът за нейното изчисляване.
4. Концепцията за минор от k-ти порядък. Ранг на матрицата (дефиниция). Изчисляване на ранга на матрица чрез елементарни трансформации. Пример.
5. Линейна независимост на колоните (редовете) на матрицата. Теорема за ранга на матрицата.
6. Система от n линейни уравнения с n променливи (общ изглед). Матричната форма на такава система. Системно решение (дефиниция). Съгласувани и несъгласувани, определени и неопределени системи линейни уравнения.
7. Метод на Гаус за решаване на система от n линейни уравнения с n променливи. Концепцията за метода на Йордан-Гаус.
8. Системи от m линейни уравнения с n променливи. Теоремата на Кронекер-Капели. Условие на сигурност и несигурност на всяка система от линейни уравнения.
9. Основни (базисни) и свободни (небазисни) променливи на система от m линейни уравнения с n променливи. Основно решение.
10. Система от линейни еднородни уравнения и нейните решения. Условието за съществуване на ненулеви решения на такава система.
11. Вектори в равнината и в пространството (геометрични вектори). Линейни операции върху вектори (събиране, умножение на вектор с число). Колинеарни и компланарни вектори.
12. Скаларно произведение на два вектора (определение) и изразяването му в координатна форма. Ъгъл между векторите.
13.n-мерен вектор. Линейна комбинация, линейназависимост и независимост на векторите.
14. Векторно (линейно) пространство. Нейното измерение и основа. Теорема за съществуването и уникалността на разлагането на линеен пространствен вектор по базисни вектори.
15. Скаларно произведение на вектори в n-мерно пространство. Евклидово пространство. Дължината (нормата) на вектора.
16. Ортогонални вектори. Ортогонални и ортонормални бази. Теорема за съществуването на ортонормална база в евклидовото пространство.
17. Дефиниция на оператор. Концепцията за линеен оператор. Изображение и прототип на вектори.
18. Матрицата на линеен оператор в даден базис: връзката между вектора x и изображението y. Операторски ранг. Операции с линейни оператори. Нулеви и идентични оператори.
19. Собствени вектори и собствени стойности на оператора (матрица A): характерен полином на оператора и неговото характеристично уравнение.
20. Матрицата на линеен оператор в базис, състояща се от неговите собствени стойности. Пример.
21. Квадратна форма (дефиниция). Матрица с квадратна форма. Рангът на квадратна форма. Пример.
22. Квадратна форма (канонична форма). Намаляване на квадратна форма до канонична форма. Пример. Закон за инерцията на квадратичните форми.
23. Положително и отрицателно определени, знакоопределени квадратни форми. Критерии за знакоопределеност на квадратична форма (по отношение на собствените стойности на нейната матрица и по критерия на Силвестър).
24. Уравнение на права върху равнина. Възел. Основните видове уравнения на права линия в равнина (едно от тях за извеждане).
25. Общо уравнение на права линия в равнина, неговото изследване. Условия за успоредност и перпендикулярност на правите.
26. Криви от втори ред, тяхното общо уравнение. нормално уравнениекръгове. Канонично уравнение на елипса. Геометричното значение на параметрите на окръжността и елипсата.
27. Канонични уравнения на хипербола и парабола. Геометричното значение на техните параметри. Уравнение на асимптоти на хипербола. График на обратна пропорция и квадратен тричлен.
28. Общо уравнение на равнина в пространството и неговите частни случаи. Нормалният вектор на равнината. Условия на успоредност и перпендикулярност на две равнини.
29. Уравнения на права линия в пространството като пресечна линия на две равнини. Канонични уравнения на права линия. Векторът на посоката е прав. Условия на успоредност и перпендикулярност на две прави в пространството.
30. Ъгли между равнини, две прави, между права и равнина. Условия за тяхната успоредност и перпендикулярност.