Дискретна случайна променлива

Определение:
Случайна променлива(англ.random variable) е преобразуване от набор от елементарни резултати към набор от реални числа. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb[/math]

Съдържание

Дискретна случайна променлива[редактиране]

Определение:
Дискретна случайна променлива(на английскиdiscrete random variable) е случайна променлива, чийто набор от стойности е най-много изброим, а приемането на всяка от стойностите от нея е случайно събитие с определена вероятност.

Примери[редактиране]

Просто казано, дискретните случайни променливи са променливи, чийто брой стойности могат да бъдат преброени. Например:

  1. Броят попадения в мишената по време на [math]n[/math] изстрели. Приети стойности [math]0 \ldots n[/math]
  2. Броят глави, появили се при [math]n[/math] хвърляния на монети. Приети стойности [math]0 \ldots n[/math]
  3. Броят точки, хвърлени при хвърляне на зара. Случайната променлива приема една от стойностите - [math]\[/math]

Има и непрекъснати случайни променливи. Например координатите на точката на удара при изстрел.

Функция на разпределение [редактиране]

Определение:
Кумулативна функция на разпределение (CDF) е функция [math]F(x)[/math], дефинирана на [math]\mathbb[/math] като [math]P(\xi \lt x)[/math] , т.е. изразявайки вероятността [math]\xi[/math] да приеме стойност, по-малка от [math]x[/math]

Ако случайната променлива [math]\xi[/math] е дискретна, т.е. нейното разпределение е уникално определено от функцията [math]\mathbb

(\xi =x_i) = p_i,\; i=1,2,\lточки[/math]

Функцията на разпределение [math]F(x)[/math] на тази случайна променлива е частично постоянна и може да бъде записана като [math]F(x) = \sum\limits_

x_i \leqslant x> p_i[/math] .

Свойства на функцията на разпределение на дискретна случайна променлива:

  • [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math], когато [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]
  • [math]F(x)[/math] е непрекъснато във всички точки на [math]x\in \mathbb[/math], така че [math]\forall i

x \ne x_i [/math] и има прекъсване от първи вид в точки, такива че [math]\forall i

Примери[редактиране]

  1. Нека намерим функцията на разпределение на броя попадения в целта. Да кажем, че имаме [math]n[/math] удари, вероятността за попадение е [math]p[/math] . Трябва да се намери [math]F(k)[/math] . За [math]k \leqslant 0

F(k) = 0[/math] , тъй като не можете да уцелите целта отрицателен брой пъти. За [math]k \gt 0

F(k) = \sum\limits_^\dbinomp^(1-p)^< n - i>[/math]

  • Функцията за разпределение на броя на главите при хвърляне на монета има подобно решение, ако шансът за получаване на глави е [math]p[/math] .
  • Нека намерим функцията на разпределение на броя точки, паднали при хвърляне на зар. Нека имаме вероятностите числата [math]1 \ldots 6[/math] да бъдат изтеглени съответно равни на [math]p_ \ldots p_[/math] . За [math]k \leqslant 1

    • F(k) = 0[/math] , тъй като числото не може да бъде по-малко от [math]1[/math] . За [math]k \gt 1

    За разлика от дискретната случайна променлива, непрекъснатата случайна променлива може да приеме всяка реална стойност от някакъв интервал с ненулева дължина, което прави невъзможно представянето й като таблица или изброяване на състояния. Следователно, неячесто се посочва изрично чрез функция за разпределение, като [math] F(x) = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac>, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 1, & x \gt 3 \end[/math]

    Функция на плътността на вероятността[редактиране]

    Определение:
    Функцията за плътност на вероятносттае функция [math]f(x)[/math], дефинирана на [math]\mathbb[/math] като първа производна на функция на разпределение. [math]f(x) = F'(x)[/math]

    Свойства на функцията за плътност на вероятността:

    • Интегралът на плътността по цялото пространство е равен на единица:
    [математика]\int\limits_^n> f(x)\, dx = 1[/math] .
    • Плътността на вероятността е дефинирана почти навсякъде.
    С други думи, множеството от точки, за които не е дефинирано, има мярка нула.

    За примера по-горе [math] f(x)=F'(x) = \begin (0)', & x \lt 0 \\ \left(\dfrac> \right)', & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ (1)', & x \gt 3 \end = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 0, & x \gt 3 \end [/math]

    За дискретна случайна променливанеима функция на плътност на вероятността, тъй като такава случайна променлива не е абсолютно непрекъсната функция.