ДВОЙНИ И ДВОЙНИ ЧИСЛА

ДВОЙНИ И ДВОЙНИ ЧИСЛА - хиперкомплексни числа от формата a + be, където a и b са реални числа, а за двойни числа e 2 \u003d +1, а за двойни числа e 2 \u003d 0. Добавянето на D. и D. h. се определя по формулата

Извикване на сложни числа, двойни числа и двойни числа. също и комплексни числа съответно от хиперболичен, елиптичен и параболичен тип. Понякога тези числа се използват за изобразяване на движенията на триизмерните пространства на Лобачевски, Риман и Евклид (вижте например винтовото смятане).

Както двойните, така и дуалните числа образуват двумерни (с база 1 и e) асоциативно-комутативни алгебри над полето от реални числа. За разлика от полето на комплексните числа, тези алгебри съдържат делители на нула, а в алгебрата на двойните числа всички делители на нула имат формата a ≠ ae. Алгебрата на двоичните числа може да се разложи на пряка сума от две полета от реални числа. Друго име за двойни числа е свързано с това свойство - разделени комплексни числа. Има друго име за двойни числа - паракомплексни числа. Алгебрата на двойствените числа се разглежда не само над полето ℝ от реални числа, но и над произволно поле или комутативен пръстен. Нека A е комутативен пръстен с единица и M е A-модул. Директна сума на A-модули A ⊕ M по отношение на умножението

(a, m)(a', m') = (aa', am' + a'm)

е комутативна A-алгебра и се означава с IA(M). Тя се нарича алгебра на дуалните числа по отношение на модула M. A-модулът M се идентифицира с идеала на алгебрата IA(M), който служи като ядро ​​на пълния хомоморфизъм

Освен това квадратът M 2 на този идеал е равен на нула и IA (M) / M ≃ A. Ако A е правилен пръстен, тогава обратното също е вярно: ако B е A-алгебра и M е идеал в B, така че M 2 = 0 и B / M ≃ A, тогава B ≃ IA (M), където M се разглежда като A-модул (вж.[4]).

За M = A алгебрата IA(M) (означена в този случай IA) е изоморфна на фактор алгебрата на полиномната алгебра A(T) по отношение на идеала T 2 . Много свойства на A-модула M могат да бъдат преформулирани като свойства на алгебрата IA(M), което ни позволява да намалим много въпроси относно A-модулите до съответните въпроси в теорията на пръстените (виж [2]).

Лит.: [1] Д. Мъмфорд, Лекции по криви на алгебрична повърхност, прев. от англ., М., 1968; [2] Fossum R., Тривиални разширения на абелеви категории, V., 1975; [3] Schemas en groupes, I, B., 1970; [4] Lichtenbaum S., Schlessinger M., „Trans. амер. математика съч.", 1967, в. 128, № 1, с. 41-70.

  1. Математическа енциклопедия: гл. изд. I. M. Виноградов, том 2 D - Koo.-M .: "Съветска енциклопедия", 1979.-1104 stb., ил.