Еквивалентност на курсовете за различни периоди

Интерес представляват и случаите, когато се повдига въпросът за намиране на стойностите на еквивалентни ставки (т.е. ставки, които водят до едни и същи резултати на начисляване или дисконтиране) за различни периоди от време, върху които действа всяка от ставките.

Следната задача може да послужи като пример: за операцията за натрупване на годишния прост лихвен процентiвърху интервала от времеni, намерете еквивалентния годишен сложен лихвен процентicза интервала от времеnic, къдетоni, nicза простота ще разглеждаме като цели числа от пълни години.

По аналогия с горното, ще използваме определението за еквивалентност на скоростта и ще приравним за всеки период от времеni,nicкоефициентите на натрупване за всяка от скоростите простиiи сложниic. Тогава съгласно съотношението (6.1) получаваме израза

, (6.4)

от който можете лесно да намерите стойността на необходимата еквивалентна ставкаic

(6,5)

Разпространени подобни разсъждения на други случаи на определения на съотношението, изразяващи еквивалентност на ставките, при различни по продължителност сроковеti=ni+ ti/T,tic=nic+ tic/T,td=nd+td/T,tdc=ndc+ tdc/T(със следните индексиic,ic,d,dcбудем да обозначаваме временни отрезкиnи t, на които действа съответната ставка) получени резултати също сведем в табл. 6.4 за процесите на растеж и табл. 6.5 за процесите на дисконтиране.

i=
d=(1 – (1 +ti´i))/td
ic=
постоянен ток=

i=
d=(1 – 1/(1 +ti´i))/td
ic=
dc=

Използвайки данните, получени от табл. 6.4, 6.5, сега е лесно да се определят стойностите на еквивалентните ставки за произволни и различни по размер периодиt, за които са валидни разглежданите ставки.

Нека разгледаме един пример: нека наличните средства могат да бъдат пласирани за период от 3,5 години при проста ставкаi= 12%. Изисква се да се определи стойността на сложната ставкаic, която за 2 години ще даде същата натрупана сума.

За решаването на този проблем е достатъчно да използваме израз (6.5), от който след заместване на данните и изчисления получавамеic= 16,61%.

Трябва да се отбележи, че в проблемите за намиране на еквивалентни стойности на лихви със същите времеви периоди на операции на нарастване или дисконтиране, можем да кажем, че еквивалентните ставки водят до едни и същифинансови резултати. Докато в проблемите за намиране на еквивалентни стойности на проценти за различни периоди от време е неправилно да се използва терминът "еднакъв финансов резултат".

По този начин, в примера, обсъден по-горе, същият размер на финансовите ресурси е получен година и половина по-рано, когато условията за поставяне на първоначални средства бяха променени от проста ставка на натрупване към еквивалентна сложна ставка. Една и съща получена сума пари изобщо не е еднакъвфинансов резултат,тъй като еднакви суми средства са получени по различно време. Това е само аритметично (счетоводно) същият резултат. INВ разглеждания пример, според условията на проблема, той е постигнат с разлика от година и половина и от гледна точка на финансовата логика това е по-„ценен“ резултат, тъй като е получен по-рано. Наистина средствата, получени година и половина по-рано, могат да се използват отново и те могат да бъдат увеличени през оставащата година и половина.

ПРИМЕР 1. Намерете стойността на простия дисконтов процент, еквивалентен на простия лихвен процентi= 15% за 4,5 години.

Решение: Процентът на начисляване при процент на начисляване на проста лихваi= 0,15 за 4,5 години е равен на (1 + 0,15 ´ 4,5) = 1,675. Коефициентът на натрупване за 4,5 години при прост дисконтов процентdсе определя от израза 1/(1 –d´ 4,5). От условието за еквивалентност те трябва да са равни, следователно от отношението 1/(1 –d´ 4,5) = 1,675 намираме желаната стойност на дисконтовия процентd= (1 – 1/1,675)/4,5 = 0,089. Тоест стойността на еквивалентния дисконтов процент еd= 8,9%.

ПРИМЕР 2. За сложен дисконтов процентdc= 2%, валиден за период от 2 години, намерете еквивалентния прост лихвен процентi.

Решение: Коефициентът на дисконтиране за две години при сложна норма на дисконтиранеdc= 0,02 е (1 – 0,02)2 = 0,9604. Коефициентът на дисконтиране при проста ставка i за две години се определя от съотношението 1/(1 – 2 ´i). Приравнявайки ги помежду си, получаваме израза 1/(1 – 2 ´i) = 0,9604, от който се определя стойността на необходимата нормаi= 1 – 1/0,9604 = 0,0412 илиi= 4,12%.

ПРИМЕР 3. Колко време ще отнеме, за да се постигне резултатът от натрупване на 2,5-годишен депозит със сложен лихвен процентic= 6%, като се използва еквивалентен дисконтов процент отdc= 0,5%.

Решение:Нека приравним коефициентите на растеж или след заместване на стойностите (1 + 0.06) 2.5 = 1/, от които ще изразим = 1/(1 + 0.06) 2.5 или = 0.8444 от къдетоtdc= ℓog0.8444/ℓog0.5 = 0.236 години. Това са приблизително 86 дни.

1. Какъв сложен лихвен процент е еквивалентен за четири години на процент, който дава процент на натрупване от 2,75 за същия период. Отговор: 28,77%

2. Намерете стойността на простата сконтова норма, която е еквивалентна на сложната норма на натрупване за тригодишна сконтова операция с дисконтов коефициент 0,87. Отговор: 4,98%

3. Какъв сконтов процент ще даде прост процент на натрупване, еквивалентен на сложен дисконтов процент от 2,55% за период от време от седем години. Отговор: 0,83

4. За сложна норма на нарастване от 5%, валидна за 4 години, намерете стойност, еквивалентна на стойността на сложната дисконтова ставка за период от 3,5 години. Отговор: 5,4%

5. Каква е стойността на прост процент на натрупване, еквивалентен на комплексен дисконтов процент от 3% за седем години. Отговор: 3,39%

6. Колко време ще отнеме, за да постигнете резултата от 4-годишен депозит със сложен лихвен процент от 4%, ако използвате сложен лихвен процент от половината от това. Отговор: 0,72 години.

8. Колко пълни години ще отнеме, ако се използва проста ставка на натрупване от 7%, за да се постигнат резултати на начисляване при сложна норма на дисконтиране от 11% за две години. Отговор: 3 години

1. Еквивалентност на ставките. Случаят на равенство на периодите от време при определяне на стойностите на еквивалентните ставки.

2. Еквивалентност на ставките. Случаят на различни периоди от време при намиране на стойностите на еквивалентни ставки.

3. Уравнения за определяне на еквивалентните стойности на прости и сложни ставки.

4. Уравнения на еквивалентност на проценти за процеси на натрупване и дисконтиране.

5. Условието за получаване на уравнения за намиране на еквивалентни стойности на ставките при натрупване.

6. Условие за получаване на уравнения за намиране на еквивалентни стойности на проценти при дисконтиране.