Епидемичен модел
През многото хилядолетия на човешкото съществуване огромен брой хора са умрели от различни епидемии. За да можем да се борим с епидемиите, т.е. да прилагаме своевременно определени медицински мерки (карантина, ваксинации и др.), Е необходимо да можем да сравняваме ефективността на тези мерки. Те могат да се сравняват само ако е възможно да се предвиди как ще се промени ходът на епидемията с това или онова събитие, преди всичко броя на пациентите. Следователно е необходимо да се изградят модели, които да служат за целите на прогнозата.
Нека първо разгледаме модела на „естествения” ход на епидемията (без медицинска намеса). Ясно е, че епидемичният модел може да включва влиянието на фактори от различни нива. По този начин може да се вземат предвид законите, управляващи дейността на бактериалните клетки, степента на чувствителност към инфекция на индивидите, вероятността от среща с носители на инфекция с все още здрави хора и много други фактори. Тъй като нашата цел е само да създадем илюстративен модел, ние се абстрахираме от много фактори.
Нека имаNздрави хора и в моментаt= 0 тази група включва един болен (източник на инфекцията). Да предположим, че не се случва отстраняване на болните от групата (няма възстановяване, няма смърт, няма изолация). Предполагаме също, че човек става източник на инфекция веднага след като самият той се зарази.
Нека означим броя на болните хора в моментtкатоx(t), а броя на здравите хора катоy(t)(очевидно,x(t)+y(t)=N+1във всеки момент).
Когатоt= 0, условиетоx(0)= 1 е изпълнено.
Разгледайте интервала от времеt+dt, къдетоdtе малък интервал от време.Необходимо е да се определи колко нови пациенти ще се появят през този период от време. Може да се предположи, че техният брой ще бъде пропорционален на стойносттаdt, както и на броя на срещите на здрави и болни хора, тоест произведението на стойноститеx×y:
dx=a∙x×y×dt, къдетоaе коефициентът на пропорционалност (коефициент на предаване на инфекцията).
y = N + 1 – x→
Решение на това уравнение:
Прогноза - формата на зависимостта на броя на пациентите в групата от времето е показана на фигурата.
 |
Проблем.Изчислете броя на пациентите след 6 дни и колко души ще се разболеят на 6-тия ден, акоa= 0,001 иN+ 1 = 1101 души?
За да получите отговори, използвайте решението на уравнението.
Възможно е да се усложни моделът, като се приеме, например, че в момент от времеtне 1 човек е болен, а няколко (b). Освен това да предположим, че след кратък период от време пациентът се възстановява и получава имунитет. Тогаваz(t)е броят на преболедувалите и оздравелите към моментаt.
къдетоgхе броят на оздравелите пациенти.
Тогава прогнозата за броя на случаите ще има формата, показана на фигурата.
Конкретната форма на кривата зависи отN, b, α, γ.
Моделът може да отчита смъртността от болестта, предаването на болестта чрез вектора (гризачи) и др.
2.6. МоделиГоворителиВъзрастГрупи
Да разгледаме ситуация, когато теглото на всеки индивид от популацията се променя по време на живота и е необходимо да се направи прогноза не за числеността, а за биомасата на цялата популация или нейната "млада" част след определено време (t).
Некаtе възрастта на индивида;
N(t, t)– броят на всички индивиди в популацията, които имат в моментавремеtвъзрастt;
Р(t)– средно тегло на индивид на възраст t;
Тогава биомасата на всички индивиди на възрастtе равна наN(t, t) Р(t)
Нека обозначим сМ(t, j)биомасата на всички индивиди от популацията, които ни интересуват и имат възраст не повече отjкъм моментаt.
Тогава
Зависимостта наPотtпонякога е известна, например, от научната литература. Много по-трудно е да се дефинираN(t, t). Зависи от много фактори, както външни (температура, влажност, хранене и др.), така и характеристики на вида (плодовитост, жизнеспособност и др.).
Понякога за моделиране на числотоN(t, t)е удобно да се изостави непрекъснатото време и да се премине от диференциални уравнения към дискретни модели, които предвиждат процеса на „стъпки“, тоест в дискретни моменти. Нека разгледаме дискретен "стъпков" модел на динамиката на възрастовата структура на населението в зависимост от времето. Този модел се използва широко в научните изследвания в областта на екологията, селското стопанство, демографията и др.
Населението е условно разделено наnвъзрастови групи. В началния моментt0е известен броят на индивидите от всяка (i– та) възрастова група, който се означава схi(t0), i= 1…n(фигура).
От всички възрастови групи се отличават тези, които произвеждат потомство. Нека техните числа саk, k+1, k+2, … , k+p. Да предположим, че следващата времева точкаt1е избрана така, че в интервала отt0доt1(1 “стъпка”) индивидите отi-та група преминават в групатаi+1, от групитеk, k+1,k+2, … , k+pсе появява потомство и някои от индивидите от всяка група di д. Например, първата група - лица от 0 до 1 година, втората - от 1 до 2 години и т.н. Прогнозната "стъпка" също е 1година. Некаaiе раждаемостта вi– та група;bi- степен на преживяемост вi– та група (смъртността ще бъде определена като1 – bi). 0 . xi(t0), и всички потомци, появили се в интервала отt0доt1ще бъдат равни на:
Сега нека определим броя на втората възрастова група във времеt1. През времето отt0доt1индивидите, които са в първата възрастова група в моментаt0ще преминат към втората. В този случай някои от тях могат да умрат. Следователно, броят на втората възрастова група във времеt1:
По същия начин, броят на всяка (i-та) група се изчислява след 1 „стъпка“.
xi(t1) = bi-1. xi-1(t0)., където 0 2 можете да получите заключението: с вероятност (P) по-малка от 0,05 (5%), откритото отклонение от 3:1 е причинено от грешка на случайна извадка. Това означава, че отклонението всъщност е причинено от някакви специални, неслучайни фактори.
Втората причина, поради която е необходимо да се използват стохастични модели, особено в селското стопанство, е въздействието върху симулираните процеси (системи), например растения, на неконтролирани случайни колебания в условията на отглеждане. Често влиянието на тези колебания дори се припокрива с влиянието на генотиповете на сравняваните сортове върху добива. За генетици, селекционери, сортоизпитатели е изключително важно правилното прилагане на стохастични модели и методи.
Помислете за пример. Нека оценим вероятността от случайна мутация на гена, който определя кръвната група. Нека има три такива гена (B, C, E). Вероятности за спонтанни мутации на отделни нуклеотиди:A ↔ T; C ↔ Gи т.н. са еднакви и равни на ≈10 -1 . АлелътBсе различава отCсамо с десет нуклеотида и "междинните" мутации не са жизнеспособни. Ако мутациите се появят независимо, тогававероятност за мутация отBдоС P(В→С) ≈10 -10 . За да се реализира такава пренебрежимо малка вероятност, са необходими огромни популации и много дълга поредица от поколения. Това означава, че ако нов вид съдържа и трите алела (B, C, E), тогава те са получени от вида прародител и не са се образували в резултат на нови мутации.