Фундаментален солитон и неговите употреби, Engraver - s Weblog
Седейки в сърцето на Вселената
Фундаментален солитон и неговите приложения
02 събота октомври 2010 г
Етикети
В настоящия курс семинарите започнаха да се състоят не в решаване на проблеми, а в доклади по различни теми. Мисля, че ще бъде правилно да ги оставим тук в повече или по-малко популярна форма.
Думата "солитон" произлиза от английското solitary wave и означава точно самотна вълна (или на езика на физиката някакво възбуждане).
Солитон близо до остров Молокай (Хавайски архипелаг)
Цунамито също е солитон, но много по-голям. Самотата не означава, че в целия свят ще има само една вълна. Солитоните понякога се срещат в групи, както близо до Бирма.
Солитони в Андаманско море, миещи бреговете на Бирма, Бенгал и Тайланд.
В математически смисъл солитонът е решение на нелинейно частично диференциално уравнение. Това означава следното. Да решава линейни уравнения, които са обикновени от училище, това диференциално човечеството вече е в състояние да го направи от дълго време. Но щом в диференциалното уравнение от неизвестна величина възникне квадрат, куб или още по-хитра зависимост, математическият апарат, който е разработен през вековете, се проваля - човек все още не се е научил как да ги решава и решенията най-често се отгатват или избират от различни съображения. Но те описват Природата. Така че нелинейните зависимости пораждат почти всички явления, които очароват окото, и също така позволяват животът да съществува. Дъгата, в своята математическа дълбочина, се описва от функцията Airy (наистина, красноречиво фамилно име за учен, чиито изследвания разказват за дъгата?)
Контракциите на човешкото сърце са типичен пример за биохимпроцеси, наречени автокаталитични - тези, които поддържат собственото си съществуване. Всички линейни зависимости и преки пропорции, макар и прости за анализ, са скучни: нищо не се променя в тях, защото правата линия остава същата в началото и отива до безкрайност. По-сложните функции имат специални точки: минимуми, максимуми, грешки и т.н., които веднъж в уравнението създават безброй вариации за развитието на системите.
Функции, обекти или явления, наречени солитони, имат две важни свойства: те са стабилни във времето и запазват формата си. Разбира се, в живота никой и нищо няма да ги задоволи за неопределено време, така че трябва да сравните с подобни явления. Връщайки се на повърхността на морето, вълничките по повърхността му се появяват и изчезват за части от секундата, големи вълни, повдигнати от вятъра, излитат и се разпръскват с пръски. Но цунамито се движи като глуха стена в продължение на стотици километри, без да губи забележимо височина и сила на вълната.
Има няколко вида уравнения, водещи до солитони. На първо място, това е проблемът на Щурм–Лиувил
В квантовата теория това уравнение е известно като нелинейно уравнение на Шрьодингер, ако функцията има произволна форма. В тази нотация числото се нарича свое собствено. Той е толкова специален, че се намира и при решаване на задача, защото не всяка негова стойност може да даде решение. Ролята на собствените стойности във физиката е много голяма. Например, енергията е собствена стойност в квантовата механика, преходите между различни координатни системи също не могат без тях. Ако изискваме промяна в параметъра t да не променя собствените стойности (и t може да бъде време, например, или някакво външно влияние върху физическата система), тогава стигаме до уравнението на Korteweg-de Vries:
Има и други уравнения, но сега те не са толкова важни.
В оптиката явлението дисперсия играе фундаментална роля - зависимостта на честотата на вълната от нейната дължина или по-скоро така нареченото вълново число:
В най-простия случай тя може да бъде линейна ( , където е скоростта на светлината). В живота често получаваме квадрат на вълновото число или дори нещо по-сложно. На практика дисперсията ограничава честотната лента на влакното, което тези думи току-що са пренесли до вашия интернет доставчик от сървърите на WordPress. Но също така ви позволява да преминете през едно оптично влакно не един лъч, а няколко. И от гледна точка на оптиката, горните уравнения разглеждат най-простите случаи на дисперсия.
Солитоните могат да бъдат класифицирани по различни начини. Например, солитоните, които се появяват като някаква математическа абстракция в системи без триене и други загуби на енергия, се наричат консервативни. Ако разгледаме същото цунами за не много дълго време (и трябва да е по-полезно за здравето), тогава това ще бъде консервативен солитон. Други солитони съществуват само благодарение на потоците от материя и енергия. Те обикновено се наричат автосолитони, а по-нататък ще говорим за автосолитони.
В оптиката те също говорят за времеви и пространствени солитони. От името става ясно дали ще наблюдаваме солитон като вид вълна в пространството, или ще бъде вълна във времето. Временните възникват поради балансирането на нелинейните ефекти чрез дифракция - отклонението на лъчите от праволинейно разпространение. Например, те насочиха лазер към стъкло (оптично влакно) и вътре в лазерния лъч индексът на пречупване започна да зависи от мощността на лазера. Пространствените солитони възникват поради балансирането на нелинейностите чрез дисперсия.
Фундаментален солитон
Какво вечеБеше казано, че широколентовият достъп (т.е. способността за предаване на много честоти и следователно полезна информация) на оптичните комуникационни линии е ограничен от нелинейни ефекти и дисперсия, които променят амплитудата на сигналите и тяхната честота. Но от друга страна, същата нелинейност и дисперсия може да доведе до създаването на солитони, които запазват своята форма и други параметри много по-дълго от всичко друго. Естественият извод от това е желанието да се използва самият солитон като информационен сигнал (има флаш-солитон в края на влакното - предадена е единица, не - предадена е нула).
Пример с лазер, който променя индекса на пречупване вътре в оптично влакно, докато се разпространява, е доста жизненоважен, особено ако „вкарате“ импулс от няколко вата във влакно, по-тънко от човешки косъм. За сравнение, много или не, типична 9W енергоспестяваща крушка осветява бюро, но е с размерите на длан. Като цяло няма да се отклоняваме далеч от реалността, като приемем, че зависимостта на индекса на пречупване от мощността на импулса във влакното ще изглежда така: 0." title="n(P) = n_0 + n_1 P,\quad n_1 > 0." />
След физически отражения и математически трансформации с различна сложност може да се получи уравнение от формата за амплитудата на електрическото поле вътре във влакното
където и е координатата по протежение на разпространението на лъча и напречно на него. Коефициентът играе важна роля. Той определя връзката между дисперсия и нелинейност. Ако е много малък, тогава последният член във формулата може да бъде изхвърлен поради слабостта на нелинейностите. Ако той е много голям, тогава нелинейностите, смачкали дифракцията, еднолично ще определят характеристиките на разпространението на сигнала. Досега са правени опити за решаване на това уравнение само за цяло числоценности. Така че, когато резултатът е особено прост: . Функцията хиперболичен секанс, въпреки че се нарича дълга, изглежда като обикновена камбана
Разпределение на интензитета в напречното сечение на лазерен лъч под формата на основен солитон.
Именно това решение се нарича основен солитон. Въображаемият показател определя разпространението на солитона по оста на влакното. На практика всичко това означава, че ако осветим стената, ще видим светло петно в центъра, чиято интензивност бързо ще намалее по краищата.
Основният солитон, както всички солитони, които възникват с помощта на лазери, има определени характеристики. Първо, ако мощността на лазера е недостатъчна, той няма да се появи. Второ, дори ако някъде ключарят прегъне влакното, капне масло върху него или направи някакъв друг мръсен номер, солитонът, преминавайки през повредената зона, ще се възмути (във физически и преносен смисъл), но бързо ще се върне към първоначалните си параметри. Хората и другите живи същества също попадат в определението за автосолитон и тази способност да се връщат към спокойно състояние е много важна в живота 😉
Енергийните потоци вътре в основния солитон изглеждат така:
Посока на енергийните потоци вътре в основния солитон.
Тук кръгът разделя зоните с различна посока на потока, а стрелките показват посоката.
На практика могат да се получат няколко солитона, ако лазерът има няколко канала за генериране, успоредни на неговата ос. Тогава взаимодействието на солитоните ще се определя от степента на припокриване на техните "поли". Ако разсейването на енергията не е много голямо, можем да предположим, че енергийните потоци във всеки солитон се запазват във времето. Тогава солитоните започват да се въртят и слепват. НаСледващата фигура показва симулацията на сблъсъка на два триплета солитони.
Симулация на сблъсък на солитони. Амплитудите са показани на сив фон (като релеф), а фазовото разпределение е показано на черен фон.
Групи солитони се срещат, прилепват и образувайки Z-подобна структура започват да се въртят. Още по-интересни резултати могат да се получат чрез нарушаване на симетрията. Ако поставите лазерни солитони в шахматен ред и изхвърлите един, структурата ще започне да се върти.
Нарушаването на симетрията в група солитони води до завъртане на инерционния център на структурата по посока на стрелката на фиг. надясно и въртене около моментното положение на инерционния център
Ще има две ротации. Центърът на инерцията ще се върти обратно на часовниковата стрелка, а самата структура ще се върти около позицията си във всеки момент от времето. Освен това периодите на въртене ще бъдат равни, например като този на Земята и Луната, която е обърната към нашата планета само с една страна.
Експерименти
Такива необичайни свойства на солитоните привличат вниманието и ни карат да мислим за практически приложения от около 40 години. Веднага можем да кажем, че солитоните могат да се използват за компресиране на импулси. Към днешна дата по този начин е възможно да се получи продължителност на импулса до 6 фемтосекунди (сек или вземете една милионна от секундата два пъти и разделете резултата на хиляда). Особен интерес представляват солитонните комуникационни линии, чието развитие продължава от доста дълго време. Така Хасегава предложи следната схема през 1983 г.
Комуникационна линия Солитон.
Съобщителната линия е оформена от участъци с дължина около 50 км. Общата дължина на линията беше 600 км. Всяка секция се състои от приемник с лазер, предаващ усилен сигнал към следващия вълновод, което позволява да се постигнескорост от 160 Gbps.