Геометрията на Лобачевски
БОРИС НИКОЛАЕВИЧ ПЕРВУШКИН
PHOU "Санкт Петербург училище "Тет-а-тет"
Геометрията на Лобачевски е геометрична теория, базирана на същите основни допускания като обикновената евклидова геометрия, с изключение на аксиомата за паралелите, която е заменена от аксиомата за паралелите на Лобачевски.Евклидовата аксиома за паралелите гласи: през точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, която лежи с дадената права в същата равнина и не се пресича т го. В геометрията на Лобачевски вместо нея е приета следната аксиома: през точка, нележаща на дадена права, минават поне две прави, които лежат с дадената права в една равнина и не я пресичат. Изглежда, че тази аксиома противоречи на изключително общи идеи. Въпреки това, както тази аксиома, така и цялата геометрия на Лобачевски имат много реален смисъл. Геометрията на Лобачевски е създадена и разработена от Н. И. Лобачевски, който за първи път я съобщава през 1826 г. Геометрията на Лобачевски се нарича неевклидова геометрия, въпреки че терминът „неевклидова геометрия“ обикновено се дава в по-широк смисъл, включително тук други теории, възникнали след геометрията на Лобачевски и също се основават на промяна в основните предпоставки на евклидовата геометрия. Геометрията на Лобачевски се нарича специално хиперболична неевклидова геометрия (за разлика от елиптичната геометрия на Риман).
Съответно фигурите вътре в кръга се наричат равни, които се превеждат една в друга чрез такива трансформации. Тогава се оказва, че всеки геометричен факт, описан на такъв език, представлява теорема или аксиома на геометрията на Лобачевски.вътре в кръга, само преразказани в посочените термини. Евклидовата аксиома за паралелите тук очевидно не е изпълнена, тъй като през точката O, която не лежи на дадена хорда a (т.е. „права линия“), минават произволен брой хорди („прави линии“), които не я пресичат (например b, b`). По същия начин, геометрията на Лобачевски в пространството може да се определи като геометрията вътре в топката, изразена с подходящи термини („прави линии“ – хорди, „равнини“ – равнинни сечения от вътрешността на топката, „равни“ фигури – тези, които се превеждат една в друга чрез трансформации, които превръщат топката в себе си и хордите в хорди). Така геометрията на Лобачевски има напълно реален смисъл и е толкова последователна, колкото геометрията на Евклид. Описанието на едни и същи факти с различни термини или, обратно, описанието на различни факти с едни и същи термини е характерна черта на математиката. Изглежда ясно, например, когато една и съща линия е дадена в различни координати чрез различни уравнения или, напротив, едно и също уравнение в различни координати представлява различни линии.
Появата на геометрията на Лобачевски
Източникът на геометрията на Лобачевски е въпросът за аксиомата на паралелите, която е известна също като V постулат на Евклид (под този номер твърдението, еквивалентно на горната аксиома на паралелите, се появява в списъка с постулати в Елементите на Евклид). Този постулат, поради своята сложност в сравнение с други, предизвика опити да се даде доказателство на базата на други постулати.
Геометрията на Лобачевски изучава свойствата на „равнината на Лобачевски“(в планиметрията) и „пространството на Лобачевски“ (в стереометрията). Равнината на Лобачевски е равнина (набор от точки), в която са определени прави линии, както и движенията на фигури (в същото време разстояния, ъгли ии т.н.), подчинявайки се на всички аксиоми на евклидовата геометрия, с изключение на аксиомата на паралелите, която е заменена от аксиомата на Лобачевски, посочена по-горе. Пространството на Лобачевски се определя по подобен начин. Задачата за изясняване на истинското значение на геометрията на Лобачевски се състоеше в намирането на модели на равнината и пространството на Лобачевски, т.е. в намирането на такива обекти, в които да се реализират правилно интерпретираните положения на планиметрията и стереометрията на геометрията на Лобачевски.
Ето някои факти от геометрията на Лобачевски, които я отличават от геометрията на Евклид и установени от самия Лобачевски.
1) В геометрията на Лобачевски няма подобни, но неравни триъгълници; триъгълниците са еднакви, ако ъглите им са равни. Следователно има абсолютна единица за дължина, т.е. сегмент, който се отличава със своите свойства, точно както правият ъгъл се отличава със своите свойства. Такъв сегмент може да бъде например страната на правилен триъгълник с даден сбор от ъгли.
2) Сумата от ъглите на всеки триъгълник е по-малка от p и може да бъде произволно близка до нула. Това се вижда пряко в модела на Поанкаре. Разликата p - (a + b + g), където a, b, g са ъглите на триъгълника, е пропорционална на неговата площ.
3) През точка O, нележаща на дадена права a, преминават безкрайно много прави, които не пресичат a и са в една равнина с нея; между тях има две крайни b, b`, които се наричат успоредни на правата a по смисъла на Лобачевски. В моделите на Клайн (Поанкаре) те са представени от хорди (дъги от окръжности), имащи общ край с хордата (дъга) (която по дефиниция на модела е изключена, така че тези линии нямат общи точки) (фиг. 1.3). Неговият ъгъл между правата b (или b`) и перпендикуляра от O към a е т.нар. ъгъл на успоредност - когато точката О се отдалечава отправата линия намалява от 90° до 0° (в модела на Поанкаре ъглите в обичайния смисъл съвпадат с ъглите в смисъла на Лобачевски и затова този факт може да се види директно върху него). Паралелът b от една страна (и b` от противоположната страна) асимптотично се приближава до a, а от друга страна безкрайно се отдалечава от него (разстоянията са трудни за определяне в моделите и следователно този факт не се вижда директно).
4) Ако правите имат общ перпендикуляр, то те се разминават безкрайно от двете му страни. Към всеки от тях е възможно да се възстановят перпендикуляри, които не достигат другата линия.
5) Линия на равни разстояния от права линия не е права линия, а специална крива, наречена равноотдалечена линия или хиперцикъл.
6) Границата на окръжностите с безкрайно нарастващ радиус не е права линия, а специална крива, наречена гранична окръжност или хороцикъл.
7) Границата на сферите с безкрайно нарастващ радиус не е равнина, а специална повърхност - ограничаваща сфера или хоросфера; забележително е, че евклидовата геометрия го поддържа. Това послужи на Лобачевски като основа за извеждането на тригонометричните формули.
8) Обиколката не е пропорционална на радиуса, но расте по-бързо.
9) Колкото по-малък е регионът в пространството или на равнината на Лобачевски, толкова по-малко геометричните отношения в този регион се различават от отношенията на евклидовата геометрия. Можем да кажем, че в безкрайно малка област се осъществява евклидовата геометрия. Например, колкото по-малък е триъгълникът, толкова по-малко се различава сумата от неговите ъгли от p; колкото по-малък е кръгът, толкова по-малко съотношението на неговата дължина към радиуса се различава от 2p и т.н. Намаляването на площта е формално еквивалентно на увеличаване на единицата дължина, следователно, с безкрайно увеличаване на единицата дължина, геометричните формули на Лобачевски се превръщат във формулите на евклидовата геометрия. Евклидовгеометрията в този смисъл е "граничен" случай на геометрията на Лобачевски.
Геометрията на Лобачевски продължава да се развива от много геометри; изучава: решаването на строителни задачи, полиедри, правилни системи от фигури, общата теория на кривите и повърхностите и др. Редица геометри също развиват механиката в пространството на Лобачевски. Тези изследвания не намират пряко приложение в механиката, но дават началото на плодотворни геометрични идеи. Като цяло геометрията на Лобачевски е обширна област на изследване, като геометрията на Евклид.