ГРАДИЕНТНА ТРАНСФОРМАЦИЯ

ГРАДИЕНТНА ТРАНСФОРМАЦИЯ - трансформация в класическата и квантовата теория на полето, която променя характеристиките на полето, които не се наблюдават (напр. полеви потенциали), и не променя физическите. значението на наблюдаваните величини (напр. напрегнатост на полето). Заглавие „G. П." възникнали в класическата теория на електромагнитното поле, където 4-мерният вектор на електромагнитния потенциал An(x), n = 0, 1, 2, 3, е въведен в теорията по двусмислен начин, тъй като т.нар. G. p. от 2-ри вид:

с произволна функция f(x), която има частични производни от 1-ви и 2-ри ред, не влияят на стойностите на компонентите на антисиметричния тензор на електромагнитното поле

to-rye са равни на физически наблюдаваните компоненти на векторите на електрическата якост. поле Eα = Fα0, α = 1, 2, 3 и магнитно поле H1 = F23; H2=F31; H3 = F12. При GP от втори вид уравненията на полето остават непроменени

т.е. така нареченото свойство държи. градиентна инвариантност на теорията на полето. С помощта на подходящ избор на функцията f(x) е възможно да се постигне изпълнение на A c.l. допълнително условие, което се нарича. условие за калибриране, което прави възможно опростяването на формата на уравненията на полето. Например, условието на Лоренц, което е линейно по отношение на потенциала А, е равенството на нула на 4-измерната дивергенция

води до уравнението на д'Аламберт за An(x) (виж оператора на д'Аламберт)

Условието на Лоренц не определя напълно потенциала А, тъй като теорията остава инвариантна по отношение на т.нар. от втория вид (1) с функцията f0(x), удовлетворяваща уравнението на d'Alembert: □f0(x) = 0. Въпреки това, с определен избор на f0(x) (така наречената референтна система на Лоренц), може да бъде изпълнено условието A0 = 0. В този случай условието на Лоренц (2) се свежда до условието divA= 0 за 3-измерен векторен потенциал, т.е. към състояниетонапречно електромагнитно поле. В случай на сложни полета, теорията трябва също да бъде инвариантна по отношение на G.P. от първи род за вълновите функции на полето и техните производни

Ф(х) → Ф'(х) = e iα Ф(х); F*(x) → F*'(x) = e -iα F*(x), (4)

тъй като всички наблюдаеми динамични количествата, по силата на условието за реалност (хермитичност), трябва да се изразяват само чрез реални форми, билинейни по отношение на Ф* и Ф. Условието за инвариантност на теорията на полето по отношение на G. p. от 1-ви вид, по силата на общите принципи на механиката, означава съществуването на определени запазени наблюдаеми физически обекти. количества - заряди, които се изразяват чрез функции на полето, или, с други думи, съществуването на закони за запазване на тези заряди. Съответните лагранжиани и уравненията на полето трябва да бъдат инвариантни по отношение на G. p., иначе наречени калибровъчни трансформации. Например, в случай на взаимодействие с електромагнитното поле An(x) сложни полета ψ(x), съответстващи на частици с електрическо. заряд, лагранжианите на свободните полета и лагранжианите на взаимодействието и уравненията на полето трябва да бъдат инвариантни при калибровъчни трансформации на формата

т.е., по отношение на G. p. (1) и (4), където фазовият фактор в (4) може да зависи от 4-мерните координати на пространство-времето и трябва да съвпада с произволна скаларна функция в (1). В този случай, в системата от полета An(x) и ψ(x), законът за запазване на електрическото. зареждане. Калибровъчните трансформации (5) образуват абелева група от трансформации в смисъл, че калибровъчната функция f(x) = g(x) + h(x) описва калибровъчна трансформация, която е две калибровъчни трансформации с функциите g(x) и h(x), изпълнявани в произволна последователност. При конструиране на по-общи от разглеждания пример теориивзаимодействащи полета, за да се изпълнят съответните закони за запазване за определени заряди, е необходимо да се изисква инвариантността на лагранжианите и уравненията на полето по отношение на неабелевите калибровъчни трансформации, в които калибровъчните функции f(x) трябва да бъдат оператори.

Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Въведение в теорията на квантуваните полета, Москва, 1957 г.

Математическа енциклопедия. T. 1 (A - D). Изд. колегия: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] - М., "Съветска енциклопедия", 1977, 1152 stb. от болен.