Графичен изоморфизъм
Ти не си роб! Затворен образователен курс за деца от елита: "Истинското устройство на света".http://noslave.org
В теорията на графитеизоморфизъм на графитеНе може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): G=\left \langle V_G, E_G \right \rangle и Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): H=\left \langle V_H, E_H \ right \ra ngle се нарича биекция между набори от върхове на графика Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): f \colon\ V_G \rightarrow V_H, така че всеки два върха Не може да анализира израз (Изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): u и Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте помощ за настройка на math/README.): v графика Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте помощ за настройка на math/README.): G съседни ако и само ако върхове Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f(u) и Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f(v) съседен в колона Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): H. Тук се разбира, че графите са неориентирани и нямат тегла на върхове и ръбове. Ако концепцията за изоморфизъм се прилага към насочени или претеглени графи, се налагат допълнителни ограничения върху запазването на ориентацията на дъгата и стойностите на теглото. Ако изоморфизмът на графиките е зададен, те се наричат изоморфни и се означават като Невъзможни за анализизраз (изпълним texvc файл не е намерен; вижте math/README за помощ при конфигурацията.): G\simeq H .
Понякога bijection Не може да се анализира израз (Изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f се записва катозаместване на изоморфизъмНе може да се анализира израз (Изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): \begin a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ f(a_1) & f(a_2) & \dots & f(a_n) \ край. Някои проблеми с обработката на графики изискват не само проверка на изоморфизма, но и намиране на неговото заместване.
Отношението на изоморфизма на графа е отношение на еквивалентност, дефинирано за графики и ни позволява да разделим оригиналния клас на всички графики на класове на еквивалентност. Наборът от графи, изоморфни един на друг, се нарича клас изоморфизъм на графа (eng.), като техният брой зависи от Невъзможен анализ на израза (Изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за конфигурация.): , . ).
В случай на bijection Не може да се анализира израз (Изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f преобразува графиката върху себе си (графи Не може да се анализира израз (Изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): G и Не може да се анализира израз (Изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): H съвпадение), нарича се автоморфизъм на графа. Не може да анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): G.
Има и свързани проблеми в теорията на графите, като намиране на изоморфен подграф (англ.) и намиранемаксимален общ изоморфен подграф (англ.), принадлежащ към класа на NP-пълните. В сродни клонове на математиката има подобни проблеми, например изоморфизмът на проективни равнини и изоморфизмът на крайни групи, които са полиномиално сводими до проблема за изоморфизма на графа (възможността за обратна полиномиална сводимост не е доказана в общия случай) [1] .
Съдържание
Двете графики, дадени в примера, са изоморфни.
| Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; вижте math/README за помощ при конфигурацията.): f(a)=1 |
Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f(b)=6 Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f(c)=8 Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка. ): f(d)= 3 Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README за помощ за конфигурацията.): f(g)=5 Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен;Вижте math/README - помощ за настройка.): f(h)=2 Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f(i)=4 Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): f(j)=7
Общ графов изоморфизъм
Графики Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): G и Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): H са изоморфни, ако чрез пермутиране на редовете и колоните на матрицата на съседство на графиката Не може да се анализира израз (Изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): G успява да получи матрица на съседство на графика Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): H. Въпреки това изброяването на всички възможни пермутации е изчислително трудно Не може да се анализира израз (Texvc изпълним файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): O(N!) (ако приемем, че сравнението на матрицата на съседство се извършва във време, независимо от Не може да се анализира израз (Texvc изпълним файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): N , което обикновено е несправедливо и допълнително увеличава дадена оценка), което значително ограничава приложението на този подход на практика. Съществуват методи за ограничено изброяване на възможни двойки от предполагаеми изоморфни върхове(аналог на метода на разклоненията и обвързаността), обаче те леко подобряват горната асимптотика [2] .
Теорема на Уитни
Теоремата на Уитни за изоморфизма на графите [3] [4], формулирана от Хаслър Уитни през 1932 г., гласи, че две свързани графики са изоморфни тогава и само ако техните линейни графики са изоморфни, с изключение на графиките. orphic, но и двете имат графика Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): K_3 като линейна графика. Теоремата на Уитни може да се обобщи за хиперграфи [5] .
Инварианти
Съществува набор от числени характеристики на графи, наречениинварианти, които съвпадат за изоморфни графи (съвпадението на инварианти е необходимо, но не достатъчно условие за изоморфизъм) [6] . Те включват брой върхове. Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): n(G) и брой дъги/ръбове. Не може да се анализира израз (Изпълнимият файл texvc не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m(G) на графикаG, възходящ или низходящ вектор на степента на върха Не може да се анализира израз (exe cutable texvc файл не е намерен; вижте math/README за справка за настройка.): s(G)=(\rho(v_1), \rho(v_2), \dots, \rho(v_n)) , сортиран възходящ или низходящ вектор на собствените стойности на матрицата на съседство на графиката (спектър на графиката), хроматично число Не може да се анализира израз(изпълним файл texvc не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \chi(G) и т.н. Фактът, че инвариантите съвпадат, обикновено не носи информация за заместване на изоморфизма.
Инвариантът се наричапълен, ако съвпадението на инвариантите на графа е необходимо и достатъчно за установяване на изоморфизъм. Например, всяка от стойностите Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): \mu_(G) и Не може да се анализира израз (Изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): \mu_(G) (мини- и макси-кодова матрица за съседство) е пълен инвариант за графика с фиксиран брой Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; вижте math/README за помощ за конфигурацията.): n.
Различните инварианти имат различна изчислителна сложност. Понастоящем е неизвестен пълен инвариант на графиката, изчислим в полиномиално време, но не е доказано, че не съществува. Опитите за намирането му са правени многократно през 60-80-те години на ХХ век, но са неуспешни.
Модулен продукт Weesing
Модулен продукт на графики Не може да се анализира израз (изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): Y=G \lozenge H, предложен от V. G. Vizing (eng.), ви позволява да намалите проблема с проверката на изоморфизма до проблема с определянето на плътността на графиката. Не може да се анализира изразът (изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ при настройка.): \var phi (Y), съдържащ Невъзможен разбор на израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README за помощ при конфигурацията.): n(G) \cdot n(H) върхове. Ако изразът не може да бъде анализиран (изпълним texvc файл не е намерен; вижте math/README - помощ наconfig.): \varphi(Y) = n(G) , Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): n(G) \le n(H) , след това графика Не може да се анализира израз (Изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): H съдържа подграф, изоморфен на графика Не може да се анализира израз (Exe сладък Файл texvc за премахване Вижте math/README за помощ при конфигурацията.): G .
Изоморфизъм на графи от специален вид
Изчислителна сложност
Въпреки че проблемът с изоморфизма на графа принадлежи към класа NP, не е известно дали е NP-пълен или принадлежи към класа P (приемайки, че P ≠ NP). Освен това проблемът за намиране на изоморфен подграф (англ.) в граф е NP-пълен. Съвременните изследвания са насочени към разработване на бързи алгоритми за решаване както на общия проблем на изоморфизма на произволни графи, така и на графи от специален тип.
Приложения
На практика необходимостта от проверка на изоморфизма на графиките възниква при решаване на проблеми на хемоинформатиката, математическата (компютърна) химия [7], автоматизацията на дизайна на електронни схеми (проверка на различни представяния на електронна верига) [2], оптимизация на програмата (идентифициране на общи подизрази).