Характеристика на Ойлер
В алгебричната топология характеристиката на Ойлер е топологичен инвариант (и дори хомотопичен инвариант), дефиниран върху голям клас топологични пространства. Обикновено се обозначава Ойлеровата характеристика на пространството.
Характеристиката на Ойлер на двумерни топологични полиедри може да се изчисли по формулата: където Г, Р и В са съответно броя на лицата, ръбовете и върховете. По-специално, за всеки изпъкнал полиедър формулата на Ойлер е вярна:
Например за куб 6 − 12 + 8 = 2, а за триъгълна пирамида 4 − 6 + 4 = 2.
Дефиниции и свойства
За краен клетъчен комплекс (по-специално за краен симплициален комплекс) характеристиката на Ойлер може да се дефинира като сбор от редуващи се знаци
където означава броя на размерните клетки.
Ойлеровата характеристика на произволно топологично пространство може да се дефинира от гледна точка на числата на Бети като алтернативна сума:
Това определение има смисъл само ако всички числа на Бети са крайни и се равняват на нула за всички достатъчно големи индекси.
Последната дефиниция обобщава предишната и се обобщава към други хомологии с произволни коефициенти.
Например кръгът и торът имат характеристика 0, докато топката има характеристика 1.
Ойлеровата характеристика на сфера с g дръжки е
.
Според формулата на Гаус-Боне характеристиката на Ойлер на затворена повърхност е
къдетоKозначава Гаусова кривина.
Обобщената формула на Гаус-Боне дава подобна формула за произволни затворени риманови многообразия.
Съществува и дискретен аналог на теоремата на Гаус-Боун, който гласи, че характеристиката на Ойлер е равна на сумата от дефекти на полиедъра, разделена наНа .
Ако две пространства са хомотопично еквивалентни, тогава техните числа на Бети са еднакви и следователно характеристиките на Ойлер са еднакви.
Долбилин Н. Три теореми за изпъкнали полиедри // Квант. - 2001. - № 5. - С. 7-12.
Лакатос И. Доказателства и опровержения. Как се доказват теореми / Пер. И. Н. Веселовски. — М.: Наука, 1967.
Шашкин Ю. А. Характеристика на Ойлер. - М .: Наука, 1984. - Т. 58. - (Популярни лекции по математика).